數學模型建立與日常問題中的應用

李宛儒

摘要：當今社會，股票、保險、投資、彩票等日常的經濟問題已經隨著現代經濟的成熟與進步變得越來越復雜，我們平時用心觀察，就會發現，在現代生活中很多的日常經濟問題并不能夠通過簡單的直覺就可以判斷的。但是，通過掌握一定簡單的概率組合問題以及其解決辦法，我們可以更好的判斷日常生活中每個人都會接觸到的一類簡單的經濟問題。本文通過對于生活中出現的概率問題，組合問題，充分的展現了數學在經濟生活中的應用，以及合理的思考和正確的方法對解決數學問題的幫助。

關鍵詞：概率；組合；數學建模；日常數學問題

一、引言

其實生活中的很多簡單經濟問題都可歸納為中學數學的概率組合事件。比如游樂場的扔圏套娃娃游戲，圏的大小影響了能套中娃娃的概率，直接影響著商家能不能盈利，所以這個小小的圏里其實有著大大的計算。復雜一點的比如離我們最近的人身傷害保險，其實保險公司在銷售這款保險產品之前會做一個復雜的模型。模型中包含了通過一系列分析計算得出的投保人群的可能受傷害的概率，通過這個規律，保險公司可以制定出一套保險方案包括投保金額，理賠金額等等。最終而言，即便理賠金額遠遠大于投保金額，但保險公司還是盈利的。

再比如現在的彩票，彩票作為一個概率事件，中獎的幾率是非常低的，以從前非常流行的35選7為例，一等獎中獎率有多低？我們可以做一個計算35個數字組合可以有C357=6724520種可能，買一注就中獎的可能只有1/6724520，所以說這個中獎率是非常低的。

數學組合的問題同樣十分貼近我們的生活的，它在生活中非常常見。比如，求n個球隊參加的比賽中，每隊只與其他隊各比賽一次的總比賽的場數。又比如，一個人要把一匹狼，一只羊和一棵大白菜運到河對岸。而當人不在的時候，狼會吃羊，羊會吃大白菜，而這個人的船每趟卻只能運其中的一只。問這個人怎么做才可以都運過河。

諸如上述概率組合問題是我們在生活中會經常遇到又常常需要區解決的一類實際問題，那么我們應該如何運用自己所學的數學知識來解決上述問題呢？

二、建立針對同類問題的數學模型

首先我們可以建立一個和所求問題相一致的數學模型，進而更好的探究同類的問題。

建立數學模型就是通過我們已經學過的數學方法和數學原理來構建一個易懂的，生活中實用性很強的數學模型，進而闡述比較困難的數學問題。數學模型的建立遵從以下步驟：

1.分析問題，找到問題本質。

2.非必要因素忽略，簡化問題。

3.通過數學計算歸納出這類問題規律。

4.最終與要研究問題相對比，找出相應問題的統一處理辦法。

三、應用舉例

我們仍以上文提到的保險賠償問題入手，通過實際的問題解答來深入分析數學模型的建立對實際問題解決起到的幫助。

例1、某中學為在校學生投保人壽保險，據了解學生在校受到嚴重意外傷害的概率是0.001，學生須繳付保險費為每人每年12元。如果學生在校期間一旦發生意外事件而受到傷害可獲得保險公司的賠償為2000，此時保險公司是否盈利，獲利不少于10000元的概率是多少求，且保險公司虧本的概率是多少？

通過感性的認識，我們很難感受到保險公司的利潤率到底是多少？保險公司在提供相對投保金額十分高昂的賠付金額的同時是如何保證盈利的呢？我們通過建立起簡單的數學分析模型來看到對于這些生活中的概率問題來進行更細致的解答。

解：設一年中受到傷害人數為X，概率為p=0.001，把考慮2500人在一年里是否受到傷害看成2500重貝努利試驗，則有

np=2500×0.001=2.5 ，np（1-p）=2500×0.001×0999=2.4975

此時保險公司的年收入為2500×12=30000，支出為2000x元，得：

獲利不少于10000元的概率

p（30000-2000x≥10000）=p（0≤x≤2）

=p0-2.52.4975≤x-2.52.4975≤2-2.52.4975=Φ（-0.32）-Φ（-1.58）=0.9429-0.6255=0.3174

而保險公司虧本的概率

p（30000<2000x）=p（x>15）

=px-2.52.4975-15-2.52.4975

=1-Φ（7.91）≈0

經過計算可以看到，保險公司虧本的概率近乎為零。保險公司設定的保險條款通常是經過更加復雜和精密的計算而設定的，能夠確保其盈利，所以保險公司都是十分積極的展開各自業務的。

例2.如將一筆資金投入到三個不同的盈利基金中，即基金A、基金B、基金C。

不同的基金收入不同同時又與經濟形勢有關系。假設經濟形勢分為好、中、差三個級別，分別發生的概率為P1=0.2，P2=0.7，P3=0.1 。根據各基金的數據參考可得到不同級別狀態下各基金的收益概率分布如下表。

好P1=0.2中P2=0.7差P3=0.1基金A113-3基金B64-1基金C102-2此時，我們該如何投資才能獲得比較好的收入呢？

解：首先看三個基金的數學期望

E（A）=11×0.2+3×0.7+（-3）×0.1=4

E（B）=6×0.2+4×0.7+（-1） ×0.1=3.9

E（C）=10×0.2+2×0.7+（-2） ×0.1=3.9

方差：

D（A）=（11-4）2×0.2+（3-4）2×0.7+（-3-4）2×0.1=15.4

D（B）=（6-3.9）2×0.2+（4-3.9）2×0.7+（-1-3.9）2×0.1=3.29

D（C）=（10-3.2）2×0.2+（2-3.2）2×0.7+（-2-3.2）2×0.1=12.96

通過分析離散型隨機變量的期望可知，投資基金A的平均收益最大。但投資的同時也要注意風險，這時通過對它們各自方差的分析，方差越大，風險的波動越大。這樣比較看，基金B的風險最小，同時收益上又比基金A相差較小，所以選擇基金B來投資更加合理。

四、總結

隨著當今社會經濟的快速發展，運用數學模型進行經濟的預測和問題的解決可以說已經非常普遍了，中學數學學習不僅僅是為了提高分數，而是為了可以更加熟練的運用數學基礎知識和數學思維，將數學模型運用在現實生活中，有效的解決生活中關于經濟的問題。數學知識在日常經濟問題解答的應用中展現了很好地作用，學會通過數學思維來認識和思考問題是非常有意義的一件事情。其實知識和科學是源于生活中問題的解答的，同樣要應用于日常生活的使用中。

參考文獻：

[1]魏宗舒等編，概率論與數理統計（第二版）北京：高等教育出版社.

[2]徐國祥，劉漢良，統計學[M]，上海：上海財經大學出版社，2001.