廣義極分解的應用

涂媛媛

摘 要： 本文利用廣義極分解，拓展了性質1.2，得到了關于跡的新的不等式，作為應用，得到另外兩個新結論，并用廣義極分解進行證明.

關鍵詞： 廣義極分解 跡不等式 應用

矩陣的廣義極分解在許多領域都扮演著非常重要的角色，如數值分析，矩陣逼近，矩陣理論的研究等方面.自1989年孫和陳在[1]中研究了廣義極分解在限制條件下分解唯一性并將Frobenius范數下的逼近定理推廣至任何酉不變范數情形后，許多學者對廣義極分解和其擾動問題做了大量的研究工作并給出了一些很好的結果.例如，2008年王和衛在[6]中利用次酉極因子的新的表達式得到了酉不變范數下新的擾動界；2013年袁暉坪等在[5]中給出了酉對稱矩陣的極分解和廣義逆的公式，它們可極大地減少行（列）酉對稱矩陣的極分解的計算量與存儲量.本文主要是在性質1.2的基礎上得到了跡的新的不等式，并用廣義極分解對兩個新的結論進行證明.

本文中，C表示秩為r的m×n復矩陣的集合；U表示所有n×n酉矩陣的全體；A表示矩陣A的轉置；A表示矩陣A的逆；A和A分別表示矩陣A的共軛轉置和Moore-Penrose逆；λ（A），σ（A）分別表示矩陣A的特征值和奇異值的全體；R（A）表示矩陣A的列空間；N（A）表示矩陣A的零空間；trA表示矩陣A的跡，即所有對角元素的和；|| ||表示向量的Euclid范數和矩陣的譜范數.

定義1.1若Q∈C滿足

QQ=I

則稱Q為m×n的酉矩陣.若Q∈C滿足

||Qx||=||x||，？坌x∈R（Q）

則稱Q為m×n次酉矩陣.

顯然||Qx||=||x||？圳||Qx-Qy||=||x-y||，？坌x，y∈R（Q）=N（Q）.

定義1.2[1]設A∈C有分解

A=QH（1）

其中Q∈C是酉矩陣，H∈C為半正定陣，則這一分解叫做A的極分解.若Q∈C是次酉矩陣，H∈C為半正定陣，則這一分解叫做A的廣義極分解.

由于m×n標準正交矩陣必為次酉矩陣，因此極分解必為廣義極分解，但廣義極分解遠比極分解要復雜.當r=n時，A的廣義極分解與極分解相同，但是，當r

設A∈C，其奇異值分解為：

A=U∑ OO OV（2）

其中m≥n≥r，U=（U，U）∈C，和V=（V，V）∈C是酉陣，∑=diag（σ，...，σ），σ≥σ≥...≥σ>0.若令

Q=UV，H=V∑V，（3）

則A=QH是A的廣義極分解.

特別地，當A∈C時，有V=V，則矩陣A的廣義極分解為A=U∑OV，其中U=（U，U）∈C和V∈C是酉陣，則（3）式為Q=UV，H=V∑V.

矩陣的廣義極分解不唯一，給問題的研究及實際應用帶來了困難.有了下面定理的限制條件，可使廣義極分解唯一.

定理1.1設A∈C，則在

R（Q）=R（H）（4）

的限制下，A的廣義極因子Q，H唯一確定，并由（3）給出.

本文以下都假設滿足唯一性條件，因此廣義極分解總可以由（3）確定.顯然（3）中的廣義極因子H與極分解中H是相同的，即

H=（AA）（5）

下面我們給出廣義極分解另外一種分解方式：設0≠A∈C，則A=GE，這里E∈C是次酉矩陣，G∈C，這一分解也是A的廣義極分解.且E，G由R（E）=R（G）唯一確定.在此情況下，矩陣A奇異值分解有A=U∑V，則G=AA，E=UV.

下面給出證明.設矩陣A的奇異值分解A=U∑V，？坌k使得r≤k≤min{m，n}.記∑=diag（σ，...，σ），U=（U，...，U）∈C，V=（V，...，V）∈C，則A=（U *）∑ OO OV*=（U∑ O）∑O=U∑V.

令G=U∑U，E=UV，則A=GE.當r

若G，E滿足R（E）=R（G），則

AA=GE（GE）=GEEG=GPG=GPG=G，

即G=唯一.

E=EEE=PE=PE=GCE=（GG）E=GGE=GGE=GA.

所以，E唯一.

G=AA=U∑VV∑U=U∑U.

則G=U∑U，G=U∑U，

所以，E=GA=U∑UU=∑V=UV.

定理1.2[1]設A∈C有分解Q=QH，其中Q∈C是次酉矩陣，H∈C為半正定陣，則（a）與（b）等價

（a）R（Q）=R（H），

（b）rank（A）=rank（Q），σ（A）=λ（H）.

定理1.3設A∈C，矩陣A有（2）式的奇異值分解A=U∑V≠0，記U=（u，u...，u），V=（v，v...，v）分別為U，V前r列構成的矩陣，則

（1）UU=P，UU=I.

VV=P，VV=I.

（2）E=UV則為次酉矩陣，且EE=P，EE=P.

引理1[2]設A∈C，則λ（）≤σ（A）.

性質1.1[3]設A∈C，|λ（A）|≥...≥|λ（A）|，σ（A）≥...≥σ（A），則|λ（A）|≤σ（A）.

性質1.2[4]設H∈C，U為n階酉矩陣.若H=H，則？坌W∈U，有trH≥R{tr（HW）}，其中R（X）表示X的實部.

定理2.1設A∈C，并設W表示秩為l的m×n復矩陣集C中次酉矩陣類，這里l=min{m，n}.那么，存在W∈W，使得AW是Hermite半正定矩陣，且

R{tr（AW）}=tr（AW）=σ（A）.

這里σ（A）（i=1，...r）為A的奇異值.

證明：不失一般性，假定m≤n.設A=GE為A的廣義極分解，其中次酉矩陣E∈W為行滿秩.那么，對于任意次酉矩陣W∈W，

tr（AW）=tr（GEW）=tr{G OO OEE（W W）}（6）

這里所取的E，W使得EE與（W W）為酉矩陣.

這樣，由于EE（W W）仍為酉矩陣，并注意G OO O是半正定陣，因此，一方面由性質1.2的結論，我們有

R{tr（AW）}≤trG OO O=trG=σ（A）.

另一方面，取W=E，構造酉矩陣（W，W）=（E（E）），則

（EE）（W，W）=I.

且AW=GEW=GEE=G（E為次酉行滿秩陣，所以EE=I）.

又由（6）式可得，tr（AW）=trG=σ（A）.

綜上即得所證.

定理2.2設A∈C，A=GE為A的廣義極分解，并滿足R（E）=R（G），則A是正規矩陣的充要條件是GE=EG.

證明：由于R（E）=R（G），則A=GE分解唯一.若A的奇異值分解A=U∑V，其中∑=diag（σ，...，σ），σ≥...≥σ>0.有E=UV，G=UEU，且r（E）=r（G）=r=r（A）.

當GE=EG時，由EG=GE，有

r（E）=r=r（A）=r（（GE））=r（EG）=r（（EG））=r（GE）=r（G）.

所以，R（E）=R（EG）=R（GE）=R（G）.

故，AA=GEEG=GPG=GP=G，

AA=EGGE=GEEG=GPG=GPG=G.

即AA=AA.

反之，若AA=AA.則

v∑UU∑V=U∑VV∑V，即V∑V=U∑V.

可以推出∑VU=VU∑，進而有∑VU=VU∑.

由于P=UU=UU，P=VV=VV，

R（V）=R（V∑V）=R（U∑U）=R（U），

因此，EG=UVU∑U=U∑VUU=U∑VP=U∑VP

=U∑VVV=U∑V=U∑UUV=GE.

當GE=EG時，由上面證明得

EE=UVVU=UU=P=P=VV=VUUV=EE.

定理2.3設A∈W，A=GE是A的廣義極分解，并滿足R（E）=R（G），則A是次酉矩陣的充要條件是G是正交投影.

證明：設G=G=G冪等，則AA=GEEG=GPG=GPG=G=G，

所以，AAA=GGE=GE=GE=A，故A是次酉矩陣.

反之，設A是次酉矩陣，A=GE，其中R（E）=R（G），

則A的廣義極分解唯一，且AA=G，所以，G=AAAA=AA=G，注意G=G≥0，所以，G=G.即G冪等.

從而G為正交投影陣.

參考文獻：

[1]孫繼廣，陳春暉.廣義極分解[J].計算數學，1989，（11）：262-273.

[2]戴華.矩陣論[M].北京：科學出版社，2001.

[3]王伯英.控制不等式基礎[M].北京：北京師范大學出版社，1990.

[4]A.Ben Israel，T.N.E.Greville.Generalized Inverses：Theory and Application（II）[M].New York：Springer Verlag，2003.

[5]袁暉坪，郭偉，萬波.酉對稱矩陣的極分解[J].系統科學與數學，2013，（33）：740-750.

[6]王衛國，劉新國.關于極分解和廣義極分解的一些新結果[J].計算數學，2008，（30）：147-156.

[7]N.J.Higham.Computing the Polar Decomposition with Applications[J].SIAM Journal Sci.Stat.Comput，1986，（7）：1160-1174.