一道解析幾何試題的探究

顧曉峰

筆者在研究了鎮江市高三教學情況調研試題后發現，第18題的解析幾何問題雖然是基于橢圓的背景設計的，但第二問及第三問的結論可以延伸推廣至其他的圓錐曲線中.此外，本文還將對第三問的解法做進一步的討論.

若將條件中的右焦點改為左焦點，則相應地可以得到以下結論：

說明 由于涉及弦中點，因此想到了點差法，并通過用點的坐標代替斜率來表示△FMN的面積.雖然在解題初期可能會感覺到用坐標表示比較麻煩，但若充分抓住題目中的條件信息及相互關系則可以簡化表達式.此外，只有注意到x₁x₂的隱含限制時才能成功求出最值.

說明 解法3和解法4分別抓住了直線參數方程中t的幾何意義和極坐標的特殊性來將MF和NF表示成相應的三角函數式，無論是表示的過程還是求最值的過程相較于前兩種方法都要簡便些，是處理本題的通法.這也提醒同學們應重視參數方程與極坐標方程在解決解析幾何問題時的特殊價值.

對問題的深入探究有利于同學們認識命題的背景、體會知識之間的相關性、促進同學們對數學之美的深層感知.就本題而言，有興趣的同學不妨對其他類型的圓錐曲線做進一步的探究.