恰當選擇解題策略，臺理轉化解題方向

張自鶴

轉化和化歸思想是高中數學中最重要的思想方法，恰當地根據問題的條件選擇解題策略，合理地轉化解題方向是數學學習的重要任務.本文以圓錐曲線中最值問題的解法為例，探討在解決圓錐曲線中的最值問題中如何恰當選擇解題策略，合理轉化解題方向.

圓錐曲線中的最值問題是解析幾何中常見的問題，是高考的熱點問題，也是難點問題之一，解決這類問題的常用策略主要有：圓錐曲線定義轉化法、切線法、參數法、函數法和基本不等式法.

策略一：圓錐曲線定義轉化法

圓錐曲線定義轉化法就是根據網錐曲線的定義，把所求的最值問題轉化為平面上兩點之間的距離、點到直線的距離等等，這是求圓錐曲線最值問題的基本方法，其關鍵是用好圓錐曲線的定義.

例1 已知拋物線y=2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值，并求出取最小值時點P的坐標.

分析 由定義知，拋物線上點P到焦點F的距離等于點P到準線l的距離d，從而求|PA|+|PF|的問題可轉化為求|PA|+d的問題.

評注 圓錐曲線的定義是解決解析幾何問題的重要指導思想，用定義轉化法求最值，特別適合求與曲線上的點到焦點距離有關的問題，其根據就是橢網或雙曲線上的點到兩焦點之間有著固定的規律，以及拋物線上任意一點到準線的距離與到焦點的距離相等.

策略二：參數法

參數法就是根據曲線方程的特點，用適當的參數表示曲線上的點的坐標，把所求最值問題歸結為求解關于這個參數的函數最值的問題，這種方法的要點是選取合適的參數表示曲線上點的坐標.

評注 解析幾何中的圓、橢圓、雙曲線上的動點都可以以角為參數來表示，拋物線上的動點則可以以一個變量為參數，從而把問題轉化為利用求三角函數或變量表示的函數的最值的方法來求解解析幾何的最值問題.

策略三：切線法

當所求的最值是圓錐曲線上的點到某條直線（或直線上的點）的距離的最值時，可以通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線之間的距離就是所求的最值，切點就是曲線上取得最值的點，這種方法就是切線法.

分析 曲線上的點到直線的距離通常都可以轉化為點點距、點線距或線線距來完成，本題可通過直線逼近做切線，把問題轉化為線線距來完成.

評注 切線法的基本思想是數形結合，在使用切線法時要注意面出草圖，根據圖形大致確定何時取得最值.

策略四：基本不等式法

基本不等式法就是先將所求的最值用變量表示出來，再利用基本不等式求這個表達式的最值.基本不等式法是求圓錐曲線中最值問題時應用最為廣泛的一種方法.

分析 （l）依條件，構建關于p，t的方程；

（2）建立直線AB的斜率k與線段AB中點坐標間的關系，并表示弦AB的長度，把問題轉化為函數問題，運用函數的性質或基本不等式求d的最大值.

評注 利用基本不等式法求最值的關鍵是用合適的變量表示出所求的目標，然后利用基本不等式求得這個目標函數的最值，在使用基本不等式求最值時要特別注意使用條件，特別是等號能不能取到以及所建立的目標函數中的變量受什么因素的制約等.

策略五：函數法

函數法就是先把所求的最值表示為關于某個變量的函數，然后通過研究這個函數的最值來求出所要的最值，這是求解各類最值問題最為普遍的方法，其關鍵是建立函數關系式.

（2）因為A，B為定點，所以|AB|為定值，所以當點P到直線的距離d最大時，△ABP的面積最大，故問題轉化為只需求點P到直線的距離d最大即可，同時還要注意當動點P從A到B運動時，動點P的坐標受限制，故在求最值要考慮坐標的取值范圍.

解析 （l）由題意可求得直線l的方程為：y=2x-2，拋物線C的方程為：x=-2y.此處不再贅述.

評注 函數法是高中數學中廣為應用的一種方法，用這種方法求圓錐曲線中的最值問題時，關鍵是要選用一個適當的變量，先用這個變量來表達要解決的問題，這個變量通常選用直線的斜率、截距、點的坐標等，同時還要特別注意所建立的函數關系式中自變量的取值范圍，這些范圍就決定了函數的最值，在解題時要予以充分的考慮.

圓錐曲線中的最值問題，綜合性強，運算量大，對學生的思維要求高，要根據題目條件恰當選擇解題策略，合理轉化解題方向.解決這類問題時要注意運用數形結合、合理轉化等方法，將問題轉化到我們常見的解題通性通法上來，其中最基本、最常用的策略是要根據題意，恰當地借助變量建立起函數關系，然后借助求函數最值的方法來解決圓錐曲線的最值問題.