突破思維障礙，實(shí)現(xiàn)思維探究

卓劍

同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要多和老師交流，交流多了就可以有效突破認(rèn)知中的思維障礙，實(shí)現(xiàn)深層次的思維探究.下面舉一個(gè)例子，從幾個(gè)方面進(jìn)行說(shuō)明.

一、不可忽視的思維障礙

解析幾何由于具有字母較多，關(guān)系復(fù)雜，式子繁瑣等特征，一直是同學(xué)們懼怕的問(wèn)題.增強(qiáng)減元意識(shí)，提高復(fù)雜關(guān)系的分析能力、代數(shù)式的化簡(jiǎn)能力是突破思維的關(guān)鍵.

這個(gè)方程組太復(fù)雜了，接下來(lái)不知道怎么解了.

師：你的思路還是比較清晰的.你能先談?wù)剬?duì)問(wèn)題的想法嗎？

師：很好！符合減元的意識(shí)，這種處理也是解析幾何中常用的技巧.接下來(lái)，需要求點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，你是怎樣想的？

生：從圖中可以看出，點(diǎn)P是直線OP、直線l和橢圓的公共點(diǎn).一方面，可以將直線OP與橢圓方程聯(lián)立，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代人直線l的方程，進(jìn)行化簡(jiǎn)；另一方面，也可以先聯(lián)立兩條直線方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代人橢網(wǎng)方程化簡(jiǎn).思路2應(yīng)該比較簡(jiǎn)單，于是我選擇了后者.

師：分析得很透徹，我覺(jué)得兩種思路都可行，不過(guò)后者處理起來(lái)運(yùn)算量較小.基于你剛才的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)，我覺(jué)得此路完全行得通.對(duì)于這個(gè)方程組，你義進(jìn)行了怎樣的處理？

師：在數(shù)學(xué)解題中，當(dāng)出現(xiàn)結(jié)構(gòu)非常優(yōu)美的式子時(shí)，這樣好的機(jī)會(huì)不容錯(cuò)過(guò).你得到的方程組結(jié)構(gòu)整齊優(yōu)美.想一想，可不可以從結(jié)構(gòu)上加以變形？

生：對(duì)式子去分母，分式化整式嗎？

這道題有很多種解法，有一位學(xué)生是借助于網(wǎng)系方程進(jìn)行求解的，他的解法如下.

根據(jù)題意，OM⊥ON可理解為以MN為直徑的網(wǎng)恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn).

師：你對(duì)方程（*）所表示的網(wǎng)Q是怎么認(rèn)識(shí)和理解的？

生：首先，“OM⊥ON”可以理解為“以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)”，這里，蘊(yùn)含著兩個(gè)信息.第一，動(dòng)網(wǎng)Q經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；第二，“以MN為直徑的網(wǎng)”必是“經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的圓系中半徑最小的網(wǎng)”.

師：分析很深刻.“以MN為直徑的網(wǎng)”是圓系中“半徑最小的網(wǎng)”.那么動(dòng)圓Q的半徑是什么？

師：何時(shí)半徑最小呢？

生：λ=2/5

師：根據(jù)剛才的分析，動(dòng)圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，會(huì)得到什么結(jié)論？

師：很好，問(wèn)題解決的很成功！

師：換個(gè)角度思考，“圓系中半徑最小的網(wǎng)”的圓心應(yīng)該在哪里？

生：圓心應(yīng)在直線l上，

師：動(dòng)圓Q的圓心坐標(biāo)是什么？看看能得到什么結(jié)論？

這位學(xué)生倍感困惑.他的解答錯(cuò)在哪里呢？

原來(lái)問(wèn)題出現(xiàn)在對(duì)“以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)”這句話的理解上.

一方面，他將“以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)”理解為“圓系經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓中，半徑最小的圓”.有什么偏差嗎？

我們不妨借助于幾何面板來(lái)探究一下：作出這樣的圓Q（網(wǎng)Q經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0，M，N），看看能否獲得一些啟示.

另一方面，理性地分析，將“以MN為直徑的網(wǎng)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)”理解為“圓系中半徑r最小的網(wǎng)或圓心在直線l上的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)”就恰如其分了，

借助幾何面板也恰好驗(yàn)證了這一點(diǎn).在圖4和圖5中，我們分別看到了隨圓C半徑變化時(shí)，動(dòng)圓圓心Q始終在直線l上（即動(dòng)圓Q是以MN為直徑的圓）.當(dāng)圓Q經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，恰好滿足OM⊥ON.

問(wèn)題得到了網(wǎng)滿的解決，你是否在收獲之余，也感受到數(shù)學(xué)的魅力和探究的樂(lè)趣了呢？