題海拾貝 管中窺豹

過家福 張心剛

導數是高中數學限定選修課中的重要內容，是解決研究函數等問題的強有力的工具，運用導數的有關知識研究函數的性質（如單調性、極值、最值），解決與切線有關的問題，證明不等式，構造函數求變量的范圍等，深受命題者青睞，成為歷年各級考試或高考的熱點之一，但很多同學在應用過程中經常會出現一些諸如認識上的偏差，轉化能力的缺失，致使每每解題失誤或得分艱難.

縱觀近年來各地高考，與導數相關的內容考查力度也較大，且每每以綜合題或壓軸題面孔出現，難度較大本文.本文結合自己對新教材的理解、教學體會和各類型相關考題的分析研究，就幾年來導數知識在考題中的常見呈現形式和破解策略進行梳理，主要歸結為如下幾種類型：

一、應用導數的幾何意義研究曲

線的切線問題

例1 在平面直角坐標系xOy中，已知P是函數y=e^x（x>O）的圖象上的動點，該圖象在P處的切線l交y軸于點M，過點P作l的垂線交y軸于點N，設線段MN的中點的縱坐標為t，則t的最大值是

評析 本題綜合程度較高，以切線為切入口，變換直線位置關系，表示所需基本量（縱坐標），運用導數作為工具進行處理，牽涉變量較多，對同學們推理運算能力要求較高.這些題目都考查導數的幾何意義，在填空題中也是一種典型題型，不容忽視，

二、應用導數的方法研究函數的極值、最值和單調區間等問題

評析 給定函數直接求給定區間上的最值和極值一般考查不多，更多的是含參數求范圍問題，往往需要轉化，深入理解概念。比如，若f（x）在定義域內可導，則、f'（x₀）=0只是x₀為f（x）的極值點的必要不充分條件.或者說只有在x=x₀的兩側f'（x）符號相反，x=x₀才為f（x）的極值點，而學生初學導數時往往會忽略這一點，以為一個函數有極值的條件便是導函數對應的方程有實數解.所以在學習這部分內容時，我們應該清晰概念，理解其內在聯系，充分挖掘題目條件，培養嚴謹分析問題的思維能力.

三、應用導數的方法研究實際應用問題中的最優化問題

例3 如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個項點A，B及CD的中點P處.AB=20km，BC=10km.為了處理這三家工廠的污水，現要在該矩形區域上（含邊界）且與A，B等距的一點0處，建造一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道AO，BO，PO.記鋪設管道的總長度為ykm.

（l）按下列要求建立函數關系式：

（i）設/BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數；（ii）設OP=x（km），將y表示成x的函數；

（2）請你選用（l）中的一個函數關系確定污水處理廠的位置，使鋪設的污水管道的總長度最短.

評析 本小題主要考查函數最值的應用，要求針對不同變量的選取建立相應的函數模型，充分體現構建函數的多樣性和靈活性，要求同學們具備較強的分析推理能力，同時對一類問題學會反思和提升.應用導數研究函數及應用問題的最值，在近幾年的高考題中頻頻出現，這些問題都是利用導數解決生活中的優化問題，基本思維流程是：梳理題目條件→構建變量間函數關系（建模）→導數方法處理。

四、應用導數證明不等式問題、求參數范圍等綜合問題

例4 證明：當x>0時，有1+2x2x