2020年全國高考數學優秀試題解法賞析

蔡玉書 整理

2020年全國高考數學試題總體比較平穩，下面精選幾個試題加以分析.

試題1(2020年全國卷Ⅱ理17)已知△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A；

(2)若BC=3,求△ABC周長的最大值.

解(1)由正弦定理得a2-b2-c2=bc①，

又由余弦定理得b2+c2-a2=2bccosA②，

(2)方法1 若BC= 3,即a= 3，設周長l=a+b+c=3+b+c.

方法7 設b+c=t(t>3),則c=t-b,代入余弦定理b2+c2+bc=9，則關于b的一元二次方程b2-tb+t2-9=0有正根.

設f(b)=b2-tb+t2-9，由根的分布可得

(李家鑫重慶復旦中學 400012)

(1)求橢圓E的方程;

(2)證明：直線CD過定點.

(2)設C(x1,y1),D(x2,y2)，點P坐標為(6,t)(t∈R),主要討論t≠0(t=0時，直線CD與x軸重合).

評注處理直線和圓錐曲線問題時，常用方法就是設而不求.通過相關交點法引入參數，得到含參方程，由方程對任意參數恒成立求出定點.

聯立方程整理得(x1+3)y2=3(x2-3)y1,即2λy1y2-(m+3)(y1+y2)+2(2m-3)y1=0.

(劉小樹安徽省固鎮縣第一中學 233700)

(林琳福建省仙游金石中學 351200)

(1)求橢圓C的方程；

(2)點M，N在橢圓C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足.證明：存在定點Q，使得DQ為定值.

(2)設點M的坐標為(x1,y1)，點N的坐標為(x2,y2).若直線MN不與x軸垂直，設直線MN的方程為y=kx+m.

又點M，N在直線MN上，則有(x1-2)·(x2-2)+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=0.

整理得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0. ①

由于點A(2,1)不在直線MN上，故2k+m- 1 ≠ 0，故2k+3m+1=0且k≠1.

(董林山東省高青縣教學研究室 256300)

試題可以推廣到一般情況：

這是θ0，θ1，θ2之間應滿足的關系式.

當PA或PB的斜率不存在時， 不難證明結論也成立.

(王晨江蘇省蘇州第一中學校 215006)

(王建偉中國科學技術大學 230026)

解法1當x=0時，a∈R.

解法2當x=0時，a∈R；

令h(x)=x2+x+1-ex(x>0)，則h′(x)=2x+1-ex，h″(x)=2-ex.

令h″(x)=0，則x=ln 2，則當x∈(0,ln 2)時，h″(x)>0，h′(x)單調遞增；當x∈(ln 2, +∞)時，h″(x)<0，h′(x)單調遞減.

又h′(0)=0,h′(1)=3-e>0，h′(2)=5-e2<0,所以存在x1∈(1,2)，使h′(x1)=0.

于是當x∈(0,x1)時，h′(x)>0，h(x)單調遞增；當x∈(x1,+∞)時，h′<0，h(x)單調遞減.

又h(0)=0,h(1)=3-e>0,h(2)=7-e2<0，所以存在x2∈(1,2)，使h(x2)=0.

于是當x∈(0,1)時，g′(x)<0，函數g(x)單調遞減；當x∈(1,x2)時，g′(x)>0，函數g(x)單調遞增；當x∈(x2,+∞)時，g′(x)<0，函數g(x)單調遞減.

(洪汪寶安徽省安慶市第一中學 246004)

圖1

試題6(2020年全國新課程卷Ⅰ題20)如圖1，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD，設平面PAD與平面PBC的交線為l.

(1)略;(2)已知PD=AD=1，Q是l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

解法1因為l?平面PBC，Q∈l，所以Q∈平面PBC.在平面PQC中，設PB∩QC=E，在平面PAD中，作過點P作PF⊥QD于F，連結EF.因為PD⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，所以DC⊥PD.又DC⊥AD，AD∩PD=D，PD，AD?平面PAD，故DC⊥平面PAD.因為PF?平面PAD，所以DC⊥PF.又PF⊥QD，QD∩DC=D，QD，DC?平面QDC，故PF⊥平面QDC,從而∠FEP即為PB與平面QCD所成角.

圖2

解法2如圖2,延長CB至G，使得BG=PQ， 連結GQ，GD，過點G作GM⊥平面QDC于M，連結QM，則∠GQM即為所求.

解法3如圖3,先將P-ABCD補形為正方體，再在正方體后面補一正方體.由圖可知P′C∥PB，過點P′作P′H⊥QD于H，易證P′H⊥平面QDC，故∠P′CH即為所求角.

圖3 圖4

圖5

(張海泉江蘇省興化中學 225700)