高考填空題復習要點指津

●王勇強　(湖州市教育科學研究中心　浙江湖州　313000)

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高考填空題復習要點指津

●王勇強(湖州市教育科學研究中心浙江湖州313000)

1　題型解讀

填空題是高考試卷中的三大題型之一．縱觀浙江省這12年來的高考數學試題，填空題的題量由4題增加到7題，分值從16分增加到36分．由此可看出，高考填空題的復習越來越重要，高三復習教學時一定要重視，爭取獲得突破．

填空題和選擇題一樣，都屬于客觀性試題．它們都只要求寫出結果而不需要寫出解答過程，但是這2類題型卻發揮了不同的考查功能．選擇題相對重視概念的本質，要求判斷準確．而填空題的主要特征是題目小巧，結構靈活，知識覆蓋面廣，重基礎、概念與運算．除了考查基礎知識、基本技能、基本數學思想方法和數學思維能力外，高考填空題的考查功能更關注考生運算的方法，要求考生的運算結果正確．

另外，從2015年起，浙江省數學高考形式也更加豐富，出現了一題多空的情形．多空題的出現，更好地分散了難點，讓考生在填空題中也能分步得分，減少了考生由于失誤而導致失分，體現了高考命題組的人文關懷．

2　方法指津

填空題復習首先要重基礎、重概念，同時在求解過程中要重視課本、重視核心概念、重視基本思想方法的運用，重視各種解題方法的選擇和必要的優化．同時，教師要引導學生加強解題后的反思，努力將問題的本質揭示出來，悟透本質則題變易．總之，復習時要努力提高學生分析問題、解決問題的能力．

對于填空題的復習教學，除了要努力提高學生分析問題、解決問題的能力外，更要重視和落實運算教學，提高學生的運算求解能力．教師在高三復習時要想方設法通過有效的復習教學，使學生對于填空題的分析、運算、求解水平從直接、準確，逐步提升到合理、迅速，直到靈活、巧妙．

另外，務必要牢記填空題不能小題大做，而要努力做到小題小做、小題巧做．

3　典題剖析

3．1重基礎，基礎不牢、地動山搖

分析本題考查雙曲線的基本概念和基本量的運算，易知實軸長為2a=4，離心率為，焦點F(c，0)到漸近線bx±ay=0的距離d=類似于本題中求雙曲線離心率的值或范圍的問題是高考填空題的一個熱點，主要解題策略是先通過定義、幾何直觀或代數運算找到雙曲線3個基本量a，b，c中任意2個的等量關系或不等關系，再去求離心率的值或范圍．

(2014年浙江省數學高考理科試題第16題)

分析根據條件易列出關于a，b的等量關系．將該雙曲線的2條漸近線方程分別與x－3y+m=0聯立，求得點A，B的坐標，從而得到AB的中點Q的坐標為

由|PA|=|PB|得，PQ與已知直線垂直，故

若將2條漸近線看成一個整體，則可適當減少運算量．聯立方程

消去x或y，得到關于y或x的一元二次方程，再用韋達定理就可直接求出AB的中點Q的坐標，省略了求點A，B坐標的運算過程，后同前面解法．

變式2如圖1，已知雙曲線(其中a＞0，b＞0)，F1(－c，0)是左焦點，圓x2+y2=c2與雙曲線左支的一個交點是P，若直線F1P與雙曲線右支有交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．

圖1

分析先定性分析，再定量計算．根據條件易知，雙曲線的離心率越大，開口越大，2條漸近線越靠近y軸．當直線F1P與漸近線平行，即時，直線F1P與雙曲線右支沒有交點;當時，直線F1P與雙曲線右支有交點．若聯立可計算出點P的坐標為，再通過，可計算出雙曲線的離心率的取值范圍是．這種解法思路清晰，但運算量較大，需要學生有較強的運算能力．而運用雙曲線的定義與例1中得到的結論:雙曲線的焦點到漸近線的距離為短半軸b，則能較快解決此題．當直線F1P與漸近線平行，即直線F2P與漸近線垂直時，可求出|F2P|=2b，|F1P|=2a，又由雙曲線的定義得到|F2P|－|F1P|=2a，從而，故雙曲線的離心率的取值范圍是

3．2重方法，多法并舉、多法選優

例2如圖2，在三棱錐A-BCD中，AB=AC= BD=CD=3，AD=BC=2，點M，N分別是AD，BC的中點，則異面直線AN，CM 所成角的余弦值是______．

圖2

(2015年浙江省數學高考理科試題第13題)

分析本題考查求異面直線所成角的問題以及空間想象能力和運算能力，故只需將空間問題平面化，通過平移將異面直線AN，CM所成的角轉化到某個三角形的內角，運用余弦定理即可求出所成角的余弦值．當然，也可運用向量運算來解決這個問題．

圖3

解法1聯結ND，取ND的中點E，聯結ME，則ME∥AN，異面直線AN，CM所成的角就是∠EMC．由于的長度可在平面BCD中求出，從而運用余弦定理即可求出異面直線AN，CN所成的角的余弦值是

注不管是用解法1還是解法2，解題的關鍵是轉化思想的運用，將空間問題平面化或向量化是解決立體幾何問題的基本策略．而運用向量解決立體幾何問題不僅僅是建立空間直角坐標系→標(設)出點的坐標→向量坐標化→向量運算→運算結果幾何化這一種方法，還可以是像解法2這樣不建系的向量方法．在平時教學時要多法并舉，具體解題時可多法選優，選擇適合自己的方法．

3．3重本質，本質凸顯、運算趨簡

例3在平面直角坐標系xOy中，設直線y= －x+2與圓x2+y2=r2(其中r＞0)交于點A，B，O為坐標原點，若圓上一點C滿足，則r=______．

分析本題考查直線與圓的位置關系以及平面向量的基本概念與運算，可從坐標法這一解析幾何的核心方法來分析求解，也可從平面向量的性質和運算并結合直線與圓的幾何特性角度去考慮．如考慮用坐標法求解，則會將此填空題當成一個解答題去做，會造成“小題大做”的情形，影響解題的速度．

解法1設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)，由，得

過點O作AB的垂線交AB于點D，則

又因為圓心到直線的距離為

注解法1從平面向量坐標化入手，解法2從平面向量數量積的定義入手，解法3從平面向量共線定理入手，這3種解法的幾何味越來越濃，揭示問題的幾何本質屬性也越來越深刻，從而使運算求解變得越來越簡單．故解填空題不能小題大做，而要努力做到小題小做、小題巧做，必須合理靈活地運用恰當的方法，在“巧”字上下功夫．

3．4重規律，探求軌跡、解題直觀

例4在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若acosB=bcosA，且邊BC上的中線AD的長為4，則△ABC 面積的最大值是______．

分析本題主要考查三角函數及其變換、正弦和余弦定理等基礎知識，同時考查運算求解能力．由已知易得A=B，從而c=2acosA，及

另外，由已知可得|CA|=2|CD|，|AD|=4，若以A為原點、中線AD所在直線為x軸建立直角坐標系，則可求出頂點C的軌跡為半徑是的阿波羅尼斯圓(挖掉2個點)，從而求得△ABC的面積的最大值是

此法從頂點C的軌跡入手，用解析法解決解三角形的面積最值問題，能發現三角形面積隨頂點C的運動而發生變化的規律，從而揭示出問題的幾何背景，讓學生從根本上去理解該問題．悟透本質則題變易．

變式在銳角△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則△ABC 面積的最大值是______．

因為b2+c2≥2bc，等號當且僅當b=c時成立，所以

即bc≤3，故bc的最大值為3．因此△ABC的面積為

3．5重課本，核心概念、發揮作用

例5設函數f(x)=ax2－2ax+2－2b(其中a，b∈R)，當x∈［－2，2］時，f(x)≥0恒成立，則a+2b 的最大值是______．

分析本題主要考查不等式恒成立的問題，考查分類討論和數形結合的思想方法．由題意可按a＞0，a=0，a＜0分類討論，求出函數f(x)在x∈［－2，2］時的最小值f(x)min，由f(x)min≥0求出a+2b的最大值為2．當然也可避免分類討論，將“當x∈［－2，2］時，f(x)≥0恒成立”等價于

再用線性規劃知識，求出a+2b的最大值為2．巧解由于1∈［－2，2］，故

注這種靈活巧妙的解題思路并不突兀，而是源自課本，源自人教A版《數學(必修1)》第36頁函數的最大值的概念．因此回歸課本，重視核心概念的運用，在高三復習教學時顯得尤為重要．

4　精題集萃

1．已知集合A={x|(x－2)(x+5)＜0}，B= {x|x2－2x－3≥0}，全集U=R，則A∩B =______，A∪(CUB)=______．

3．在數列{an}中，a2=2，a5=8．若{an}是等比數列，則公比q=______，若an是等差數列，則數列{an}的前n項和Sn=______．

4．已知實數a，b滿足log2(a+b)=log4(4－4a2b2)．當b=1時，a=______;當a－b取到最大值時，ab =______．

5．已知⊙M:(x－1)2+(y－1)2=4，直線l: x+y－6=0，A為直線l上一點，若⊙M上存在2個點B，C，使得∠BAC=60°，則點A的橫坐標的取值范圍是______．

8．已知函數f(x)=x2+mx－1，若對于任意的x∈［m，m+1］都有f(x)＜0，則實數m的取值范圍為______．

9．已知a，b是不共線的2個向量，且a·b＞0，|b|≥4．若對任意m，n∈R，|a+mb|的最小值是1，|b+na|的最小值是2，則a·b的最小值是______．

參考答案

1．{x|－5＜x≤－1}，{x|－5＜x＜3}