函數與方程思想

●楊　威　莫芬利　(鎮海中學　浙江寧波　315200)

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函數與方程思想

●楊威莫芬利(鎮海中學浙江寧波315200)

1　知識內容

函數與方程是2個不同的概念，但它們之間有著密切的聯系:方程f(x)=0的解就是函數y= f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標，函數y=f(x)也可以看作二元方程f(x)－y=0通過方程進行研究．函數與方程的思想是中學數學的基本思想之一．

函數思想，是用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，去分析和研究數學問題中的數量關系，構造函數或建立函數關系，利用函數的圖像和性質去分析問題和解決問題．方程思想，就是通過分析問題中變量間的等量關系，設定未知數然后建立方程或方程組，通過解方程或方程組使問題獲得解決．方程的思想是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是善于利用方程或方程組的觀點觀察和處理問題．方程思想是動中求靜，研究運動中的等量關系．

2　命題分析

函數是高中數學的一條主線，因此函數與方程的思想方法，滲透到中學數學的各個領域，在解題中有著廣泛的應用，也是歷年高考的重點．函數思想在解題中的應用主要表現在2個方面:一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解(證)不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題;二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易、化繁為簡的目的．許多有關方程的問題可以用函數的方法解決，反之，許多函數問題也可以用方程的方法來解決．具體體現在:函數與方程、不等式之間可以相互轉化;數列也是一種特殊的函數，用函數的觀點處理數列問題是一種非常重要的方法;在立體幾何和解析幾何中，也經常運用聯立方程或者建立函數表達式的方法加以解決．

3　典題剖析

分析由f(x)的解析式易得

于是y=f(x)－g(x)=f(x)+f(2－x)－b，

因此，y=f(x)－g(x)恰有4個零點等價于方程f(x)+ f(2－x)－b=0有4個不同的解，即函數y=b與函數y= f(x)+f(2－x)的圖像有4個公共點．如圖1，由圖像可知

圖1

點評此題考查了函數的零點個數問題，在充分地利用了“函數的零點”與“方程的根”的密切關系后，通過數形結合轉化為常值函數與分段函數有4個交點時的求參數范圍問題．

例2函數f(x)=ax2+bx+c(其中a≠0)的圖像關于直線對稱．據此可推測，對任意的非零實數a，b，c，m，n，p，關于x的方程m［f(x)］2+nf(x)+p=0的解集都不可能是()

A．{1，2}B．{1，4}

C．{1，2，3，4}D．{1，4，16，64}

分析從二次函數對稱性的角度來看，在方程m［f(x)］2+nf(x)+p=0中，可將f(x)看成未知數，根據m，n，p取值不同，f(x)可得出1個、2個解或無解．當f(x)有1個解時，即f(x)=k，代入f(x)的解析式，由a，b，c取值不同，此方程f(x)=k也可能有1個、2個解或者沒有解．由函數f(x)= ax2+bx+c(其中a≠0)的圖像關于直線對稱可知，當f(x)=k有2個解時，這2個解x1，x2關于對稱，而a，b取值不定，故2個解可取任意值，因此選項A，B可能．當f(x)有2個解時，對應的x可能有4個解，f(x)=u的解x1，x2和 f(x)=v的2個解x3，x4分別應關于對稱．在選項C中，1，4，2，3均關于x=2．5對稱，因此可能正確．而選項D中的4個數不能滿足上述條件，因此不可能是方程的解．故選D．

另外，從“小題小做”的角度來說，本例可以采用特例法簡潔快速地解決．對方程m［f(x)］2+ nf(x)+p=0中m，n，p分別賦值求出f(x)，再代入f(x)=0求出并檢驗即可．

點評本題充分利用了一元二次方程和二次函數的關系，將方程的解轉化為函數f(x)的值，再一次轉化為方程f(x)=k的解，而利用二次函數y=f(x)的圖像得出所有的解必須是關于某一條直線對稱，使問題得解．

例3定義:如果函數y=f(x)在定義域內給定區間［a，b］上存在x0(其中a＜x0＜b)，滿足，則稱函數y=f(x)是區間［a， b］上的“平均值函數”．若函數f(x)=－x2+mx是區間［－1，1］上的平均值函數，求實數m的取值范圍．

分析根據定義，存在x0∈(－1，1)使得，化簡得

解法1(分離參變量法)

因為x0∈(－1，1)，令t=x0－1∈(－2，0)，所以

解法2(圖像法)

1)構造1個函數．

利用二次方程根的分布:因為根的個數不確定，因此需要進行分類討論．

若在(－1，1)上只有1個根，則只需g(－1)g(1)＜0或

綜上可知，實數m的取值范圍是(－∞，0］．

2)構造2個函數(等價轉化為2個函數圖像有交點)．

圖2

點評本題等價轉化為一元二次方程的有解問題:解法1適用于能方便分離出參變量的一般的方程有解問題，通過求已知變量范圍的函數的值域來解決問題;解法2中的2種構造函數的方法，其核心思想都是數形結合，即通過轉化為研究1個函數圖像與x軸的交點個數，或2個函數圖像間的交點個數來解決．

分析根據直線與橢圓相交，聯立方程

化簡整理得

設點A，B，P的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，(x0，y0)，則

因為點P在橢圓C上，所以

經檢驗滿足Δ＞0．又

點評求圓錐曲線有關的最值和范圍問題時，往往需要選擇一個適當的參數作為自變量來表示所研究的對象，也即構建一個函數，再通過研究函數的值域來解決問題．而這一過程中最關鍵的是尋找參數的變化范圍(特別是判別式Δ)和掌握求函數值域的各種方法．

例5已知數列{an}為等差數列，且a1，a3，a8+1成等比數列，2a1，a2+a3，a8成等差數列．

1)求數列{an}的通項公式;

分析1)采用基本量法把條件和結論統一化歸為首項和公差的關系式．設數列{an}的公差為d，由

得a1=d=1，故an=n．

2)該問題是數列中的恒成立問題，本質上是先求不等式左邊關于n的最小值，再解關于m的不等式．

則

從而數列{bn}是單調遞增數列．因此當n≥2時，bn的最小值為

點評數列是特殊的函數，因此在碰到數列中的不等式恒成立問題時可以構造函數后采取函數中恒成立問題的一般方法加以解決．

4　精題集萃

A．－2B．－4C．－8D．不能確定

2．在公差為d、各項均為正整數的等差數列{an}中，若a1=1，an=81，則n+d的最小值為()

4．已知實數a，b滿足a3－b3=4，a2+ab+ b2+a－b=4，則a－b =______．

6．已知f(x)是定義在R上的偶函數，對任意的x∈R，都有f(2+x)=－f(x)，且當x∈［0，1］時，f(x)=－x2+1，則方程f(x)=k，k∈［0，1)在［－1，5］的所有實根之和為______．

7．設二次函數f(x)=ax2－4x+c(其中a≠0)的值域為［0，+∞)，且f(1)≤4，求的最大值．

1)求橢圓C的方程;

參考答案

1．B2．D3．A

7．解由二次函數y=ax2－4x+c的值域為［0，+∞)，知a＞0，且，即a＞0，c＞0，且ac=4，從而

令x=a+c，由f(1)≤4，得a+c≤8，又a＞0，c＞0，且ac=4，得

設N(x，y)，則

2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，直線AB的方程為y=k(x－3)．由整理得

由Δ=(24k2)2－16(9k2－1)(1+4k2)＞0，得

由點P在橢圓上，得

將x1+x2，x1x2代入上式得

由式(1)，得

聯立式(2)，得3＜t2＜4，因此