自選模塊備考策略

●范東暉　(北侖中學　浙江寧波　315800)

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自選模塊備考策略

●范東暉(北侖中學浙江寧波315800)

2012年深化課程改革以來，浙江省高中數學教學內容作了相應調整，原來一些高考必考部分的內容，如導數和概率等，從2015年起調整到選考部分．

1　知識內容

2016年數學高考自選部分包含“復數與導數”和“計數原理與概率”這2個模塊．其中復數與導數模塊包括的知識內容有:導數的概念與幾何意義，基本初等函數的導數公式，導數的運算法則，利用導數求函數的單調性、極值、最大(小)值，復數的概念，復數加、減運算的幾何意義，復數的四則運算．計數原理與概率模塊包括的知識內容有:加法原理和乘法原理，排列與組合，二項式定理，楊輝三角與二項式系數，事件、事件的關系與運算，互斥、對立、獨立事件，概率與頻率，古典概型，解決簡單的實際問題．

2　命題分析

“18選6”作為浙江省高考的一個特色，其中2個數學模塊的考查，內容豐富，考查的知識點多、涉及面廣．預計2016年將繼續保持每個模塊各2個小題的格局，總體難度較之2015年以前應有所降低，更注重主干知識和基本思想方法的考查．

2．1導數

導數及其應用通常圍繞3個點進行命題: 1)圍繞導數的幾何意義展開，設計求曲線的切線方程，根據切線方程求參數值等問題，這類試題在考查導數幾何意義的同時也考查導數的運算、函數等知識，試題的難度不大;2)圍繞利用導數研究函數的單調性、極值(最值)展開，設計求函數的單調區間、極值、最值，已知單調區間求參數或者參數范圍等問題，在考查用導數研究函數性質的同時考查分類與整合思想、化歸與轉化思想等數學思想方法;3)考查導數在求解函數問題中的應用，涉及應用導數證明不等式問題以及方程等，同時考查邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力．命題的重點是利用導數研究函數的單調性等問題．

2．2復數

主要考查復數的概念、分類，復數的幾何意義、復數的運算，特別是復數的乘法與除法運算，求復數的模、復數的虛部、復數在復平面內對應的點的位置等．常常將復數的概念、復數的幾何意義和復數的四則運算融合在一起，其中復數的運算、純虛數的概念以及“分母實數化”是考試的重點．運算時注意“i2=－1”以及運算的準確性．

2．3計數原理

對2個計數原理及排列、組合的考查主要是直接利用計數原理、排列、組合知識進行計數;對二項式定理的考查主要是求展開式中的某一項、某一項的二項式系數、各項系數和等，考查賦值技巧，難度不大．其中與通項公式有關問題的考查是命題的重點．

2．4概率

概率的考查常常結合排列組合知識進行，其中古典概型為命題的重點內容，常與互斥事件、對立事件相結合命題，考查古典概率的計算求解能力和枚舉、分類討論等思想方法．從近幾年的命題情況看，概率問題命題的背景通常是摸球問題．

3　典題剖析

分析顯然x∈R，對f(x)進行求導，得

求函數f(x)的單調遞增區間，轉化為求解不等式f'(x)＞0，即

從而解得函數f(x)的單調增區間為(－∞，－1］和［0，+∞)．

評注利用導數研究函數單調性的步驟:

1)根據函數f(x)的解析式求解其定義域;

2)根據基本初等函數的導數及求導法則求出函數f(x)的導函數f'(x);

3)不等式f'(x)＞0的解集就是函數f(x)的單調遞增區間，不等式f'(x)＜0的解集就是函數f(x)的單調遞減區間;

4)根據上面的解題過程得出結論．

分析先考慮f(x)的定義域為(0，+∞)，再對f(x)進行求導，得

將y=f(x)存在單調遞減區間問題轉化為f'(x)＜0在(0，+∞)上有解問題，即考慮ax2+x－1＞0 在(0，+∞)上有解，需對a進行分類討論:

1)當a=0時，x＞1在(0，+∞)上有解;

2)當a＞0時，ax2+x－1＞0在(0，+∞)上總有解;

3)當a＜0時，要使ax2+x－1＞0在(0，+∞)上有解，只需ax2+x－1=0有2個不相等的正實數根，必須

評注已知單調性求參數的取值范圍，這里需要對x2的系數a進行分類討論．當然本題還有另一種常用的解法:通過參數分離，轉化為a＞，其中x∈(0，+∞)有解來考慮．

評注復數的考查核心是代數形式的四則運算，即使是概念的考查也需要相應的運算來支持．本題首先根據復數模的定義得復數相乘可根據平方差公式求得

也可根據共軛復數的性質求得

例4復數z滿足(z－3)(2－i)=5(其中i為虛數單位)，求z的共軛復數

分析先由(z－3)(2－i)=5，求出

評注復數代數形式的四則運算解題時，只要按照法則進行即可，復數代數形式的運算類似于多項式的運算，加法類似于合并同類項，乘法類似于多項式乘多項式，除法類似于分母有理化(實數化)，分子、分母同乘分母的共軛復數．

再令x=1，得展開式中各項系數之和為(1－2)8=1．

評注二項式定理中最關鍵的是通項公式，即二項式(a+b)n的展開式的通項公式是Tk+1=求展開式中特定的項或者特定項的系數等均可以利用通項公式和方程思想解決．應用通項公式要注意以下幾點:

1)它表示二項展開式的任意項，只要n與r確定，該項就隨之確定;

2)Tr+1是展開式中的第r+1項，而不是第r 項;

3)公式中a，b的指數和為n，且a，b不能隨便顛倒位置;

4)要將通項中的系數和字母分離開，以便于解決問題;

5)對二項式(a－b)n展開式的通項公式要特別注意符號問題．

例6設(x2+1)(x+1)9=a0+a1(x+2)+ a2(x+2)2+…+a11(x+2)11，求a1+a2+…+a11的值．

分析先求出a0，取x=－2，得a0=－5，再取x=－1，得a0+a1+a2+…+a11=0，最后得到

評注二項展開式的系數和及一些特定項的系數通常是通過對二項式及其展開式中給變量賦予特殊值得出的，注意根據展開式的形式給變量合理賦值．

例7設袋中共有7個球，其中4個紅球，3個白球．從袋中隨機取出3個球，求取出的白球比紅球多的概率．

分析首先明確這是一個古典概型概率問題．從袋中取出3個球，取法共有種，其中白球比紅球多的取法有種．因此取出的白球比紅球多的概率為

評注解決古典概型概率問題，關鍵是弄清基本事件的總數n以及某個事件A所包含的基本事件的個數m，然后由公式求出概率;事件A的個數常常用列舉法得出，對于較復雜的互斥事件的概率求法可考慮利用分類相加或對立事件去求．

例8袋中有形狀、大小都相同的4個球，其中1個白球、1個紅球、2個黃球，從中1次隨機摸出2個球，求這2個球顏色不同的概率．

分析從4個球中1次隨機摸出3個，共有6種摸法，2個球顏色不同的情況相對復雜，可以考慮2個球顏色相同的情況(只有1種)，這樣不同的共有5種，因此其概率為

評注求解互斥事件、對立事件的概率問題時，一要先利用條件判斷所給的事件是互斥事件，還是對立事件;二要將所求事件的概率轉化為互斥事件、對立事件的概率;三要準確利用互斥事件、對立事件的概率公式去計算所求事件的概率．

4　精題集萃

1．設f(x)=a(x－5)2+6lnx，其中a∈R，曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與y軸相交于點(0，6)，求函數f(x)的單調區間．

2．已知函數f(x)=(1+x)e－2x，當x∈［0，1］時，求證:

3．若復數z滿足iz=2+4i，求在復平面內z對應的點的坐標．

7．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球．從袋中任取2個球，求所取的2個球中恰有1個白球、1個紅球的概率．

8．有3個人，每人都以相同的概率被分配到4個房間中的一間，求至少有2人被分配到同一房間的概率．

參考答案

1．解因為f(x)=a(x－5)2+6lnx，所以

令x=1，得

從而曲線y=f(x)在(1，f(1))點處的切線方程為

由點(0，6)在切線上可得

令f'(x)=0，解得x1=2，x2=3．當0＜x＜2或x＞3時，f'(x)＞0，故f(x)在(0，2)，(3，+∞)上為增函數;當2＜x＜3時，f'(x)＜0，故f(x)在(2，3)上為減函數．因此函數f(x)的單調遞增區間為(0，2)，(3，+∞)，單調遞減區間為(2，3)．

2．證明要證x∈［0，1］時，

記h(x)=(1+x)e－x－(1－x)ex，則

當x∈(0，1)時，h'(x)＞0，h(x)在［0，1］上是增函數，故

于是f(x)≥1－x，其中x∈［0，1］．要證x∈［0，1］時，

只需證明ex≥x+1．記K(x)=ex－x－1，則

當x∈［0，1］時，K'(x)＞0，因此K(x)在［0，1］上是增函數，故

3．解由iz=2+4i，可得

因此z對應的點的坐標是(4，－2)．

4．解

5．解(1+x)2n中x3項的系數為中x3項的系數為2n．由得

解得n=2．

6．解二項展開式通項為

8．解利用對立事件概率的關系．3個人分到4個房間的分法總數是43=64，每間至多只有1人的分法總數為，因此至少有2人被分配到同一房間的概率是