玩轉數(shù)形結合　　提升數(shù)學思維
——數(shù)學思想與解題方法專題之數(shù)形結合思想

●伊建軍　(杭州高級中學　浙江杭州　310003)

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玩轉數(shù)形結合提升數(shù)學思維
——數(shù)學思想與解題方法專題之數(shù)形結合思想

●伊建軍(杭州高級中學浙江杭州310003)

1　知識內(nèi)容

我國著名數(shù)學家華羅庚曾說過:“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休．”數(shù)形結合是高中數(shù)學中一種非常重要的數(shù)學思想，幾乎可以滲透到高中數(shù)學的所有知識點中．比如向量、解析幾何就是“數(shù)”與“形”結合的完美產(chǎn)物，因此可以說，數(shù)形結合涉及到的范疇非常之廣．筆者在此要強調(diào)的是，我們在教學過程中要引導學生對問題深入思考，巧用、妙用“數(shù)形結合”思想，讓學生體會“數(shù)形結合”思想在解題過程中的優(yōu)越性，感受其強大的功能．

2　命題分析

近幾年的高考數(shù)學命題有一種“小題考方法，大題考運算”的趨勢，選擇題、填空題的解決需要在熟練掌握數(shù)學知識的基礎上運用各種數(shù)學思想方法，其中數(shù)形結合是最為常見的數(shù)學思想方法之一．同樣在解答題中，也經(jīng)常利用數(shù)形結合思想幫助理解、分析題意，對快速解決問題很有幫助．

數(shù)形結合不僅在解題中廣泛使用，而且在命題過程中也經(jīng)常運用．在教學過程中，教師可以帶領學生探索數(shù)學問題的命制過程、意圖，解開數(shù)學命題的神秘感，尋找不同數(shù)學問題之間的橫縱聯(lián)系，挖掘出蘊含其中的數(shù)形結合思想．

3　典題剖析

3．1變換結構，注意動靜結合

解題時，研究題目中所給式子的結構特征，并適當?shù)剡M行一些變換，有意識地利用數(shù)形結合的思想方法，可以進行一些轉化，比如轉化成比較熟悉的函數(shù)、不等式或幾何中的常見曲線方程等．另外，在轉化過程中，一般不要讓多個圖形同時含有參數(shù)，同時變化的圖像會增加難度．因此，想辦法分離參數(shù)，讓圖像一動一靜，動靜結合，可以化難為易，迎刃而解．

例1已知實數(shù)a，b都不為0，求證:函數(shù)f(x)=3ax2+2bx－(a+b)在(0，1)內(nèi)一定有零點．

分析本題如果直接用二次函數(shù)來解決，需要進行分類討論，由于含有2個參數(shù)a，b，因此討論起來較為復雜．若我們把參數(shù)適當分離，將f(x)=0化為a(3x2－1)=－b(2x－1)，再進一步轉化為3x2－1=，則等式的一邊含參數(shù)，另一邊不含參數(shù)，實現(xiàn)了函數(shù)圖像的一動一靜，可以通過數(shù)形結合來解決．如圖1，函數(shù)y=與函數(shù)y=3x2－1在(0，1)之間必有交點．

圖1

通過該問題的解決，可以進一步理解數(shù)學命題的意圖，同時圖形的直觀性也讓人感覺到數(shù)學問題的巧妙．

A．當a＜0時，x1+x2＜0，y1+y2＞0

B．當a＜0時，x1+x2＞0，y1+y2＜0

C．當a＞0時，x1+x2＜0，y1+y2＜0

D．當a＞0時，x1+x2＞0，y1+y2＞0

分析雖然f(x)與g(x)都是比較熟悉的函數(shù)，并且也是一動一靜，可以直接畫圖再結合運算來完成．若適當變形，則能更方便地解決問題:由得，然后對與y= ax+b的圖像進行分析．一個小小的變換，帶來的是大大的方便!

圖2

圖3

故選B．

2　理解本質(zhì)，抓住幾何特征

每一個數(shù)學問題，都有一些本質(zhì)的特征，從哪個角度去理解，是確定哪一種解題思路的關鍵．事實上，有許多代數(shù)問題中隱藏著它的幾何特征，抓住了這個特征，運用數(shù)形結合的思想，不僅可以順利地解決問題，而且可以更清晰地理解問題．

例3若a，b，c滿足:|a|=|b|=2，|c|=1，且(a－b)·(b－c)=0，則|a－b|的取值范圍是______

圖4

分析向量問題的解題思路可謂是千變?nèi)f化，但許多向量問題其實都與幾何知識有關，因此，數(shù)形結合思想在向量中有著廣泛的應用．我們平時在編寫一個向量問題時其實也常常從幾何方面入手，數(shù)形結合思想在向量中通常是首先需要考慮的方法．本題抓住2個特征:一個是模長為定值;另一個是(a－c)·(b－c)=0，顯然具有垂直的特征．可構造這個問題的幾何圖形(分如圖4所示的這2種情況)，|a－b|=2r(其中r＞0)，于是

3　運用類比，注意橫向聯(lián)系

波利亞在《怎樣解題》一開始擬定計劃中說道:“你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?”我們在拿到一個數(shù)學問題時，你去思考過這個問題嗎?事實上，在一個數(shù)學知識點中出現(xiàn)的式子，有時候卻具有另一個知識點的特征;在一個問題用過的方法，可以考慮能不能在另一個問題中使用，實現(xiàn)多題一解，事半功倍，從而提高綜合解決問題能力．

例4若等差數(shù)列{an}滿足，則的最大值為______．

分析這明顯是一個數(shù)列問題，但如果僅用數(shù)列知識來解決，發(fā)現(xiàn)難度較大，特別是已知條件中的，平方以后較為復雜．如果把a1和

那么問題是不是可以轉化為:已知x2+y2≤10，求目標函數(shù)z=50(3y－x)的最大值了呢?結合線性規(guī)劃的方法，利用數(shù)形結合可得到最大值為500，問題變得較為容易．

4　數(shù)形相助，避免錯看誤算

數(shù)形結合，應該是數(shù)與形2種方法的有機結合，千萬不要理解成只要畫出圖形就可以了，況且，要畫出完全正確的圖形困難很大，有時甚至是不可能做到的．并且，很多時候，圖形也只是對解決問題起到一種輔助作用．因此，數(shù)形結合，不能只注重其中一個方面，而應該相互依賴，相輔相成，互相兼顧，達到完美結合．

分析對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)是我們比較熟悉的函數(shù)，但在畫出2個函數(shù)的圖像后，要進行相應的計算，這樣才能得到正確的結果，同時要注意函數(shù)圖像的變化趨勢．

由f(x)=0得

當a＞1時，畫出g(x)=logax和h(x)=3－的圖像(如圖5所示):只要滿足h(1)≥ 0即可，解得

圖5

圖6

當a＜1時，畫出g(x)=logax和h(x)=3－的圖像(如圖6所示)，此時h(1)=3－，故在(0，1)之間必有零點．

4　精題集萃

圖7

A．x1x2＜0B．x1x2=1

C．x1x2＞1D．0＜x1x2＜1

5．已知點P到2個定點M(－1，0)，N(1，0)距離的比為，點N到直線PM的距離為1，則直線

PN 的方程為______．

6．如圖8，已知直線l⊥平面α，O為垂足，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=5，AB= 6，AA1=8，A∈l，B1∈α，則OC1的最大值為______．

圖8

7．設t∈R，若n∈N*時，不等式恒成立，則t 的取值范圍為______．

8．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，求sinB和 cosC．

1)當a=0，b=1時，寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

3)若對任意實數(shù)a，b，總存在實數(shù)x0∈［0，4］使得不等式f(x0)≥m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

(2015年浙江省學業(yè)水平考試第34題)

參考答案

8．解注意到

如圖9，構造△ABC，使AD= BD，則

圖9

于是(5－x)2=x2+42－2·x·4cos(A－B)，解得x=4，從而

9．解1)f(x)的遞增區(qū)間為(1，+∞)，遞減區(qū)間為［0，1］．

3)命題“若對于任意實數(shù)a，b，總存在實數(shù)x0∈［0，4］，使得不等式f(x0)≥m成立”的否定形式為“若存在實數(shù)a，b，對任意的x∈［0，4］，不等式f(x0)＜m恒成立”．

圖10