分類討論思想

●曲文瑞　(平湖中學　浙江平湖　314200)

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分類討論思想

●曲文瑞(平湖中學浙江平湖314200)

1　知識內容

1．1分類討論思想概述

分類討論是一種重要的數學思想方法，其本質是將一個較復雜的數學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現了有效增設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優化了解題思路，降低了問題難度．

1．2引起分類討論的歸因分析

1)由數學概念引起的分類討論:有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數函數、對數函數等;

2)由性質、定理、公式的限制引起的分類討論:有的數學定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論不一致，如等比數列的前n項和公式、函數的單調性等;

3)由數學運算要求引起的分類討論:如除法運算中除數不為0，偶次方根為非負，對數真數與底數的要求，指數運算中底數的要求，不等式2邊同乘以一個正數、負數，三角函數的定義域等;

4)由圖形的不確定性引起的分類討論:有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限，立體幾何中點、線、面的位置關系，二次函數對稱軸位置的變動，函數問題中區間的變動，圓錐曲線由焦點引起的位置變動或由離心率引起的形狀變動等;

5)由參數的變化引起的分類討論:如含參數的方程、函數、不等式，由于參數的取值范圍不同會導致所得結果截然不同，或對于不同的參數值要運用不同的求解或證明方法．

1．3分類討論必須遵循的原則1)實行分類的集合的全集必須是確定的; 2)分類的標準必須是統一的;

3)分類必須是完整的，不能出現遺漏;

4)如需多級分類，必須逐級進行，不得越級; 5)能不分類的要盡量避免或盡量縮小討論范圍，絕不無原則地討論．

1．4分類討論的基本思路

1)確定分類討論的對象:即對哪個變量或參數進行分類討論;

2)對所討論的對象進行合理、正確地分類;

3)逐類進行討論:即對各類問題詳細討論，逐步解決，獲得階段性的結果;

4)歸納總結:將各類情況總結歸納，整合出最后結論．

1．5簡化和避免分類討論的常用方法

1)采取直接回避法，如運用反證法、消參法等;

2)采取變更主元法，如分離參數、變參置換，構造以討論對象為變量的函數形式;

3)采取合理運算法，如利用函數奇偶性、變量的對稱輪換以及公式的合理選用等;

4)采取數形結合法，利用函數圖像、幾何圖形的直觀性和對稱特點．

2　命題分析

“分類討論”是一種重要的數學思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略，它體現了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化，培養學生思維的條理性和概括性，以及認識問題的全面性和深刻性，提高學生分析問題、解決問題的能力．因此分類討論是歷年數學高考的重點與熱點．

縱觀近幾年各省的高考試題，分類討論思想在高考中占有十分重要的地位，相關的考題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性等特點，難度有易，有中，也有難．題型可涉及任何一種題型，知識領域方面，可以“無孔不入”地滲透到每個數學知識領域，如函數、數列、解析幾何、立體幾何等知識當中．

3　典題剖析

題型1運算、定理或概念引起的分類討論例1已知數列{an}滿足a1=1，|an+1－an|=pn，其中n∈N*．

1)若{an}是遞增數列，且a1，2a2，3a3成等差數列，求p的值;

分析1)因為數列{an}為遞增數列，所以

從而|an+1－an|=pn成為

分別令n=1，2，得

又因為a1，2a2，3a3成等差數列，所以

當p=0時，數列{an}為常數數列，不符合數列{an}是遞增數列，因此

2)由題意可得

由{a2n－1}是遞增數列，且{a2n}是遞減數列，知

2個不等式相加可得

又因為

當n=2m(其中m∈N*)時，

以上2m－1個等式相加可得

當n=2m+1時，

以上2m個等式相加可得

當m=0時，a1=1符合，于是

綜上可得，

點評本題中含有絕對值，同時還給出了數列的奇數項和偶數項的單調性，從概念出發，對于絕對值的概念應引起分類討論，但是由于試題中單調性的介入，導致了絕對值內部整體的唯一性，從而避免了分類討論;第2)小題中奇數項具有單調性，偶數項也具有單調性，從而去掉絕對值要從奇數和偶數進行分類討論，也就導致了求通項公式應該也是分段的形式．

題型2圖形位置或形狀變化引起分類討論

例2在平面直角坐標系xOy中，點M到點F(1，0)的距離比它到y軸的距離多1，記點M的軌跡為C．

1)求軌跡C的方程;

2)設斜率為k的直線l過定點P(－2，1)，求直線l與軌跡C恰好有1個、2個、3個公共點時，相應k的取值范圍．

分析1)設M(x，y)，由題意得

2)在點M的軌跡C中，記C1:y2=4x，C2:y=0(其中x＜0)．依題意，可設直線l的方程為

當k=0時，y=1．把y=1代入軌跡C的方程，

當k≠0時，方程(1)的判別式為

設直線l與x軸的交點為(x0，0)，由y－1=k(x+ 2)，令y=0，得

點評本題第1)小題中含有絕對值，因此曲線的方程必然是分段的形式．在第2)小題的解答過程中，由于是直線與分段曲線的交點個數問題，必然會引起分類討論，討論的出發點是二次曲線與直線的根的問題，即方程的根的問題，也就是Δ與0的關系，同時還有直線與x軸的交點橫坐標x0與0的大小關系進行分類討論．

題型3由參數變化引起的分類討論

例3設函數f(x)=x2+ax+b(其中a，b∈R)．

2)已知函數f(x)在［－1，1］上存在零點，0≤b－2a≤1，求b的取值范圍．

(2015年浙江省數學高考文科試題第20題)

分析第1)小題是二次函數在閉區間上的最小值問題，是二次函數中典型的“動軸定區間”問題，只需討論以下3種情況:

第2)小題是二次函數在閉區間上的零點問題，看似常規的零點問題，但切入口并不唯一，對條件0≤b－2a≤1如何轉化與切入非常重要，目標是求參數b的取值范圍，重點是能對“函數零點”、“方程的根”、“圖像與軸交點”這3者進行熟練轉化之后再分類討論．

解法1從討論零點個數入手，轉化為規劃問題．

因為函數f(x)在［－1，1］上存在零點，即函數圖像與x軸有交點，亦即二次函數與x軸有1個或2個交點進行分類，從而

畫出可行域后可逐一得出

點評此法易入手，因為二次函數圖像我們比較熟悉，結合根的分布，想法比較自然，列出式子后畫出可行域，鎖定參數范圍再求解，但對作圖要求較高．

解法2從討論對稱軸的位置入手．

因為函數f(x)在［－1，1］上存在零點，所以

又0≤b－2a≤1，則a≥8或a≤0．

從而b－2a=(b－a+1)－a－1≤－a－1≤－9＜0，這與0≤b－2a≤1矛盾，此時不存在a，b滿足題意．

從而b－2a=(b－a+1)－a－1≥－a－1＞1，這與0≤b－2a≤1矛盾，此時不存在a，b滿足題意．

點評此法抓住二次函數存在零點則必須滿足判別式大于等于0，再結合已知條件0≤b－2a≤1，將字母a的范圍縮小，從而將對稱軸的范圍縮小，以減少討論的情形，簡化計算過程，提高計算的準確性．

題型4簡化和盡量避免分類討論

例4設函數f(x)=ax2+|x－a|+b，其中a，b∈R．

1)若函數f(x)在［0，1］上單調遞增，在［1，+∞)上單調遞減，求實數a的值;

2)若對任意的實數b∈［0，1］及任意的x∈［－3，3］，不等式|f(x)|≤2恒成立，求實數a的取值范圍．

分析1)只需對a＞0，a＜0，a=0進行討論，再結合圖像(如圖1)即可得出，從而

圖1

2)因為|f(x)|≤2，所以－2≤ax2+|x－a|+b≤2．又對任意的實數b∈［0，1］及任意的x∈［－3，3］，上式恒成立，從而

記g(x)=ax2+|x－a|，則

又式(4)可化為

記h1(x)=－ax2+1，h2(x)=－ax2－2， k(x)=|x－a|，由可知h2(a)＜0，因此命題可轉化為:①－ax2－2=－x+a的較小根小于或等于－3;②－ax2+1=x－a的較小根大于或等于3(或是無實根)．

點評本題首先想到的討論出發點是曲線的形狀及曲線的單調性，但字母參數的范圍越大，需要討論的環節可能就會越復雜，那么是否能夠把符合題意的字母參數的范圍縮小呢?根據命題的特殊與一般的關系，在大范圍成立，在小范圍必然成立，因此，代入定義域內的值，字母參數a的范圍一定會縮小，那么討論的環節也就簡單化了．

4　精題集萃

1．已知函數f(x)=2mx2－2(4－m)x+1，g(x)=mx，若對于任一實數x，f(x)與g(x)的值至少有1個為正數，則實數m的取值范圍是()

A．(0，2)B．(0，8)

C．(2，8)D．(－∞，0)

2．設F1，F2為橢圓的2個焦點，P為橢圓上一點，已知P，F1，F2是一個直角三角形的3個頂點，且|PF1|＞|PF2|，則的值為()

A．5B．6C．7D．8

5．有4根長都為2的直鐵條，若再選2根長都為a的直鐵條，使這6根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a 的取值范圍是______．

7．若實數x，y滿足x2+y2≤1，則|2x+y－2|+|6－x－3y|的最小值是______．

8．已知等差數列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且S1，S2，S4成等比數列．

1)求數列{an}的通項公式;

9．設f(x)=4x2－1，g(x)=－2x+1．

1)若關于x的方程f(2x)=2g(x)+m有負實數根，求實數m的取值范圍;

2)若F(x)=af(x)+bg(x)(其中a，b都為常數，且a＞0)．

①證明:當0≤x≤1時，F(x)的最大值是|2a－b|+a;

②求證:當0≤x≤1時，F(x)+|2a－b|+a≥0．(2015年浙江省數學高考理科試題第18題改編)

參考答案

8．解1)由題意得

2)

當n為偶數時，

當n為奇數時，

9．1)解x＜0，設2x=t∈(0，1)，則

2)證明F(x)=4ax2－2bx+b－a，其對稱軸為

②由題意，即求F(x)min+|2a－b|+a≥0．

綜上所述，當0≤x≤1時，F(x)+|2a－b|+ a≥0．