不等式與數列

●蘇衛軍　(紹興市第一中學　浙江紹興　312000)

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不等式與數列

●蘇衛軍(紹興市第一中學浙江紹興312000)

1　知識內容

不等式部分主要內容有:一元二次不等式的解法、不等式比較大小的方法(作差法、作商法等)、不等式的基本性質和應用、含參一元二次不等式問題、基本不等式及其應用等．

數列部分主要內容有:數列求和與通項的常見方法，如基本公式法、迭加法、迭乘法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、并項求和法等，以及數列與數列不等式綜合問題等．

2　命題分析

縱觀近5年浙江省數學高考試卷，有如下特點:

不等式部分:1)一元二次不等式的解法，幾乎年年考，如:2010年第1題、2012年第1題、2013年第2題、2014年第1和第15題、2015年第1題等;2)含參不等式恒成立問題，考查的難度較大，如:2012年第17題;3)不等式比較大小問題，重點放在考查作差比較法上，如:2011年第7題;4)對基本不等式的考查，題目求解方法靈活多樣，如: 2011年第16題，此題的經典求解方法至少有3 種;5)以函數和數列等為載體考查不等式問題，上升為熱點，如2010年第15題、2012年第9題、2015年第3，18，20題等．

數列部分:1)等差、等比數列的通項與求和問題，成為必考點，如:2010年第3題、2011年第19題、2012年第7和第13題、2013年第18題、2014年第19題、2015第3題等;2)數列求和“裂項相消法”等成為重點考查的方法，如:2011年第19題、2014年第19題等;3)數列不等式問題成為壓軸題的新模式，如:2015年第20題．

3　典題剖析

考點1不等式的性質

2)采用作差比較法．因為

考點2含參一元二次不等式有關問題

例2已知函數f(x)=x2+ax+1，若存在x0使同時成立，則實數a 的取值范圍是_____.

分析此題考查分類討論的數學思想，以及一元二次函數圖像的應用．題目包含的可能情況比較多，故須確定合理的分類標準，從而進行有效討論．討論如下:

由|x3－x1|≥1得

例3設關于x的不等式x2－ax－1＜0和x2－x－2a＜0的解集分別為(x1，x2)和(x3，x4)，若，則實數a 的取值范圍為_____.

分析此題部分學生可能會采用先求根再代入計算的方法來求解．實際上，這樣的操作相當麻煩，解題過程會遇到很大的困難，應先對題目進行等價轉化，尋求最佳策略．具體如下(先參變量分離，再數形結合):

圖1

由x2－ax－1=0，得

由x2－x－2a=0，得

變式若不等式x4+2x3+ax2－2x+1≥0對x∈R恒成立，則實數a 的取值范圍是______．

分析先分離參變量，再轉化為函數的最值問題即可，a∈［－1，+∞)．

考點3基本不等式及其應用

例4設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則x2+y2的最小值為______．

分析此題改編自2011年浙江省數學高考理科第16題，原題所求為2x+y的最大值，方法較多，比較典型的方法有:一是先配方再基本不等式法;二是換元判別式法(具體過程略)．此題比較典型的方法有以下3種:

方法1(待定系數)令xy=(sx)(ty)，則

方法2(常數1的代換，化齊次式再換元)令x2+y2=m，則

方法3令x2+y2=m，則

代入4x2+y2+xy=1整理得

2)已知b＞0，a2+b2+c2+2ab－4a－4b+4= 0，則的最小值為______．

3)已知a2+b2+c2=1，則ab+bc+ac的最大值為______，最小值為______．

分析這3道題目均為三變元求最值問題．一般而言，化三變元為雙變元是最基本的想法．當然，如何化為雙變元就要因題而異了，如果已知條件是三元一次方程，那只要直接移項換元即可．但如果是三元二次結構，則需考慮其他辦法．具體如下:

1)注意到

2)原式可化為

即

a+b=2，c=0，

當且僅當a=－2，b=4時等號成立．

3)一方面，ab+bc+ca≤a2+b2+c2=1，當a= b=c時等號成立．另一方面，注意到

故

當且僅當a+b+c=0且a2+b2+c2=1時等號成立，因此所求最大值為1，最小值

考點4數列求和與通項問題

例6在數列{an}中，已知a1=1．

1)若nan+1=(n+1)an+2，則an=______．

2)若nan+1=(n+2)an+2，則an=______．

分析求通項公式通常有2種方法，其中一種是特殊化，即先計算前面幾項的值，然后猜測通項．但猜測也有局限性，一是可能猜錯，即前幾項的規律不一定符合所有項;二是可能猜不出，即前幾項的規律并不明顯．這就需要掌握求通項問題的一般方法．

1)nan+1=(n+1)an+2，同除以n(n+1)可得

迭加可求得an=3n－2．

2)nan+1=(n+2)an+2，同除以n(n+1)(n+ 2)可得

迭加可求得an=n2+n－1．

例7已知數列{an}的通項an=，其中n∈N*，若a1+ a2+…+a2015＜1，則實數x等于()

分析此題是2015年浙江省高中數學競賽選擇題第6題，從反饋來看此題得分率很低，究其原因是考生沒有將條件中的分式結構分析透徹，對此結構求和首先應想到裂項相消法．

考點5數列不等式問題

例81)數列{an}中:若，則n 的最小值為______．

2)數列{an}中:，求證:(其中n≥2，n∈ N*)．

3)數列{an}中:a1=1，an+1an=n+1，求證:

因為(1024)n=210n，即

所以考慮2n－1＞10n，檢驗知n的最小值為8．

從而

又因為n≥2，an+1＞an，所以

3)退位相減可得

從而

例9設數列{an}滿足:a1=1．

1)設ak，ak+1，ak+2(其中k∈N*)是數列{an}的連續3項，求證:ak，ak+1，ak+2不可能為等比數列;

分析1)易知an≥1恒成立，且{an}為遞增數列，又

即任意的連續3項不可能為等比數列．

2)由于an+1+2=(an+2)(an+3)，故

從而

綜上可知，原不等式成立．

4　精題集萃

1．設b為正實數，則“a＞b”是“ac2＞2bc2”的()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件

A．q=r＜pB．q=r＞p

C．p=r＜qD．p=r＞q

3．若a＞0，b＞0，且點(a，b)在過點(1，－1)， (2，－3)的直線上，則的最大值是()

5．已知a2+b2=2，則a2b2－ab 的取值范圍是______．

7．在數1和100之間插入n個實數，使得這n+2個數構成遞增的等比數列，將這n+2個數的乘積記作Tn，再令an=lgTn，n≥1．

1)求數列{an}的通項公式;

2)設bn=tanantanan+1，求數列{bn}的前n項和Sn．

(2011年安徽省數學高考試題)

參考答案

1．B2．C3．C

6．提示:當n≥2時，

可證原不等式成立．

7．提示:1)an=lgTn=lg10n+2=n+2．

2)利用正切公式