三角函數與平面向量的復習

●苗孟義　(三山高級中學　浙江慈溪　315300)　　●黃國員　(慈溪市教育局教研室　浙江慈溪　315300)

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三角函數與平面向量的復習

●苗孟義(三山高級中學浙江慈溪315300)●黃國員(慈溪市教育局教研室浙江慈溪315300)

1　命題分析

回顧近幾年浙江省數學高考試題中關于“三角函數與平面向量”的考題，給我們一種“題在書外、根在書中”的感覺(以2015年為例):文、理科第11題，與《數學(必修4)》第147頁復習參考題類似;文科第13題呈現熟悉，理科第15題呈現新穎，理科第16題更關注通性通法，考查有價值的常規方法的應用，凸顯學生運用數學思想方法，把數學的知識與技能轉化為分析問題和解決問題的能力．全卷一般有3～4個三角函數與平面向量的試題，分值占15%～20%．

三角函數主要考查:三角函數名稱、角、關系式的變換;三角函數圖像與性質，圖像的變換，三角函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性、最值等;簡單的三角恒等變換，包括兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式等，合理運用三角公式是解決三角函數的圖像與性質、三角恒等變換等問題的關鍵．

解三角形主要考查:內角和定理與正弦(余弦)定理，解三角形的邊、角、面積及判斷三角形形狀等．

平面向量主要考查:平面向量的幾何意義、基向量轉化、坐標法．

在高考試題中，三角函數試題的考查難度不大，容易得滿分;平面向量試題往往短小精悍，內涵豐富，有挑戰性．2015年浙江省數學高考理科試題對有關向量問題的考查，悄悄地由平面轉向空間，值得關注．

2　典題剖析

3)設△ABC的內角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數列，則的取值范圍是()

故選A．

3)

因為b2=ac，即，由

評析此題組考查同角三角函數關系、兩角和與差的正弦(正切)公式．其解答過程集中體現在運算上，是突出對運算能力考查的一組試題，關鍵是對公式的選擇和運算方向的把握．在選擇公式、確定運算路徑時，應本著從簡的原則，盡量縮短運算路徑，簡化運算過程，提高運算的準確率，這些都是對運算能力的考查要求．

2)已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ均為正常數)的最小正周期為π，當時，函數f(x)取得最小值，則下列結論正確的是()

A．f(2)＜f(－2)＜f(0)

B．f(0)＜f(2)＜f(－2)

C．f(－2)＜f(0)＜f(2)

D．f(2)＜f(0)＜f(－2)

3)函數f(x)=cos(ωx+ φ)的部分圖像如圖1所示，則f(x)的單調遞減區間為()

圖1

分析1)向右平移φ個單位后，得到

因為|f(x1)－g(x2)|=2，所以當|x1－x2|取最小值時，剛好是取2個函數相鄰的最大值與最小值點．令，則

從而

故選A．

3)由五點作圖法知

評析三角函數作為重要的基本初等函數，是高考必考的內容之一．對函數圖像與性質(如:定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調性、最值等)的掌握情況可以在三角函數中得到體現．公式運用及其變形能力、運算能力等可以在這些問題中進行考查，在復習時要注意基礎知識的理解與落實．

例31)已知平面向量a，b，且|b|=2，b· (2a－b)=0，則|tb+(1－2t)a|(其中t∈R)的最小值為_____.

3)若平面向量a，b，e滿足|e|=1，a·e=1， b·e=2，|a－b|=2，則a·b 的最小值為_____.

分析1)方法1由|b|=2，b·(2a－b)=0知a·b=2，從而a在b方向上的投影為不妨設b=(2，0)，a=(1，y)，y任意，因為

圖2

3)因為(a+b)·e=3≤|a+b|·|e|，所以

從而

評析平面向量與不等式結合的問題，解題的關鍵是利用向量知識將問題轉化為不等式問題，通過解不等式、數形結合、極化恒等式來求最值或范圍．向量與不等式的結合，既考查了學生的創新數學素養，又加強了對“雙基”的考查，特別是向量的坐標表示及運算．這種命題形式符合考綱要求，從學科的整體高度和思維價值的高度考慮問題，在知識網絡的交匯處設計試題，對數學基礎知識的考查達到必要的深度．

在△ABD中，

方法2如圖3，過點C作邊AB所在直線的垂線，垂足為E，過點D作DF⊥AB，垂足為F．由得 AE=CE=3，則

圖3

又AD=BD，在Rt△DFB中，

評析方程思想是通過列方程，找到相關量的關系，通過方程關系的轉化得到需要的量進而解決問題．列方程可以將逆向思維的算術問題轉化為正向思維的代數問題，學生如果能牢固樹立這一思想意識，可以減少很多不必要的思考．另外通過數形結合的思想，借助圖形，甚至建立坐標系等，都可以比較快捷地解決此類問題．

1)求函數f(x)的單調遞增區間;

2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，△ABC的面積為，求的取值范圍．

分析1)先利用誘導公式、二倍角公式、三角恒等變換化簡解析式

因為△ABC為銳角三角形，所以

由a2=b2+c2－1，知

評析正確化簡函數關系式是解題的關鍵，要警惕“一開始算錯，接下來白做!”審題時要注意△ABC是銳角三角形．

3　精題集萃

A．2B．4C．6D．8

A．［－1，11］B．［1，13］

1)求ω的值;

參考答案