函數中含絕對值問題的求解策略

●戴海林　(瑞安中學　浙江瑞安　325200)

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函數中含絕對值問題的求解策略

●戴海林(瑞安中學浙江瑞安325200)

1　命題趨勢分析

函數是高中數學的重要內容，也是高考數學中突出考查的主干知識，在歷年浙江省數學高考中都占較大的比重，考查涉及函數的概念、圖像、性質及其綜合應用，命題設計以基本初等函數、抽象函數、復合函數為背景，從函數與方程、不等式等知識交匯處來立意，突出考查函數與方程、數形結合、分類討論、轉化化歸等數學思想．試題中既有靈活多變的客觀性試題，又有內涵豐富的解答題，要求考生有較高的理性思維能力．

由于浙江省深化課程改革要求減少必修課程，從而使2015年和2016年浙江省高考數學的考查內容發生了較大的變化，不再要求考查導數．綜觀2015年浙江省高考試題及各地區模擬試題不難發現，命題時設計解答題主要是以二次函數為背景，而小題著重考查函數概念與性質為主，最明顯的特征是試題中大多都帶有絕對值符號，顯然是想通過絕對值符號來增加函數試題背景的復雜性，從而有利于考查學生分類討論、轉化化歸的能力與意識．因此，在2016年的高考復習中仍然應重視函數中含絕對值問題的研究，努力去發現并總結一些解決這類問題的思路與方法．

2　知識要點梳理

2．1有關函數的知識體系

圖1

高中階段學習的函數及相關內容包括:必修1中的函數、必修4中的三角函數及必修5中的數列，在復習時應梳理并把握函數有關內容的知識體系(如圖1)、弄清每個內容的本質所在及其相互關系，比如對于函數性質的復習，必須明確每個性質的定義、本質及數學表示，加強性質的綜合應用，并要把握研究一個新函數性質的順序:定義域、周期性、奇偶性、單調性、值域．我們知道，定義域是研究一切性質的基礎，有了函數周期性或奇偶性就可以縮小研究范圍，單調性是函數最重要的性質，知道了單調性就可以確定函數值域(最值)，從而可以解決函數零點、恒成立等問題．

2．2有關絕對值的重點知識

1)絕對值的含義:

它的幾何意義表示數軸上坐標為a的點到原點的距離．

2)絕對值不等式的解法:

①從絕對值的幾何意義出發可得出

②從函數的圖像出發可得出

3)絕對值三角不等式:

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|．

3　解題策略剖析

3．1利用分段函數分解絕對值問題

我們知道含絕對值的函數是分段函數的另一類表現形式，因此，把函數中含絕對值的問題轉化為分段函數來解決是最基本的方法．

A．(－∞，3)B．［3，+∞)

C．(0，3)D．(3，+∞)

分析設函數

利用圖像容易得出:當x∈(0，3)時，方程g(x)=m 有2個不同的解，即函數f(x)有2個不同的零點．故選C．

例2已知函數f(x)=x2－|2x－a|．

1)若a=1，求函數y=f(x)的單調遞增區間;

2)當a＞0時，若對任意的x∈［0，+∞)，不等式f(x－1)≤2f(x)恒成立，求實數a的取值范圍．

分析1)當a=1時，

2)不等式f(x－1)≤2f(x)可化為

即2|2x－a|－|2x－(2+a)|≤x2+2x－1對任意的x∈［0，+∞)恒成立．

式子左側含2個絕對值可分3類情形討論，因為a＞0，所以可分類如下:

評注從例1和例2的分析中可以看出，分類討論是解決絕對值問題的基本方法．一般地，要去掉一個絕對值需分2類，去掉2個絕對值需分3類，……，依次類推，從而將它轉化為分段函數問題．對于分段函數問題，其基本方法是“分段歸類”，即自變量涉及到哪一段就用這一段的解析式來處理．

3．2利用幾何意義表示絕對值問題

盡管使用分類討論是解決絕對值問題的基本方法，但許多特定背景下的絕對值問題也可以選擇其他的方式來避免繁瑣的分類討論．

分析1設函數u=x2－2x－t，則

由題意可知－1－t=－2或3－t=2，可得t=1．

分析2設函數u= x2－2x，則－1≤u≤3，而y= |u－t|表示數軸上坐標為u的點A到坐標為t的點B之間的距離(如圖2所示)，且點A在區間［－1，3］內移動，易得t=1．

圖2

例4若對于任意的x，y恒成立，則實數a的值為______．

分析1設f(x)=|x+1|+|x－a|，g(y)= －y2+2y+2，根據題意得f(x)min≥g(y)max，求f(x)的最小值應先對a分情況(a＞1，a=1，a＜1)討論，再對每一類情形進行分類去絕對值，較為繁瑣．

分析2由絕對值的幾何意義知|x+1|+ |x－a|表示數軸上坐標為x的點到坐標為－1的點及坐標為a的點的距離之和，顯然它的最小值為|a+1|，而g(y)max=3，則由|a+1|≥3得a≥2或a≤－4．

評注從例3和例4的分析中可以發現:有時利用絕對值的幾何意義可以直觀而又簡便地解決問題，有時可以利用|x－a|+|x－b|的最小值為|a－b|，|x－a|－|x－b|的最大值為|a－b|，從而解決絕對值問題．

3．3利用圖形對稱轉化絕對值問題

函數圖像的幾何特征與函數性質的數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法，假如我們能夠發現絕對值符號下函數的圖形特征，就能把函數中含絕對值問題中的“數”轉化為“形”進行解題，這是避免分類討論的又一種有效手段．

例5設max{a，b}表示數a，b中的最大值，若f(x)= max{e|x|，e|x－2|}，則f(x)的最小值為_____;若f(x)=關于x= 2016對稱，則t =______．

圖3

分析畫出函數y=e|x|， y=e|x－2|的圖像，可以發現它們的圖像形狀一樣，前者是偶函數，圖像關于y軸對稱，后者的圖像關于直線x=2對稱，2個圖像關于直線x=1對稱，因此函數f(x)的圖像為圖3中的實線部分，可得f(x)的最小值為e;類似地，若f(x)=max{e|x|，e|x－t|}關于x=2016對稱，則t=4032．

例6存在函數f(x)滿足:對任意x∈R都有()

A．f(sin2x)=sinxB．f(sin2x)=x2+x

C．f(x2+1)=|x+1|D．f(x2+2x)=|x+1|

分析1這是2015年浙江省數學高考理科試題第7題．試題較為抽象，但若采用特殊值排除法，選出正確答案并不難，比如將代入，發現選項A，B都錯;再將x=1，x=－1代入，發現選項C錯．故選D．

分析2對于選項D，設函數u=x2+2x，t= |x+1|，可知這2個函數圖像都關于直線x=－1對稱，且它們在對稱軸2側都是單調函數，當x≤－1時，對于每一個x的值，u，t都是唯一的，從而滿足題意．對于選項C，函數u=x2+1，t=|x+1|的圖像的對稱軸不一樣，當x=1，x=－1時u的值相等，但t的值不相等，不符合函數定義，對于選項A，B也可一樣處理，很容易發現它們不符合函數概念．

例7已知函數f(x)=|x－3|+|x－a|，g(x)=x3+1，若函數y=f(g(x))的圖像為軸對稱圖形，則實數a可能的值是()

A．－1B．1C．2D．3

分析函數g(x)=x3+1的圖像關于點(0，1)成中心對稱，設t=g(x)，則

評注對于函數f(x)，可以得出以下結論:函數y=f(|x|)是偶函數，它的圖像是保留f(x)在y軸上及右側部分的圖像，y軸左側的圖像只要作出右側圖像關于y軸的對稱圖即可;函數y=|f(x)|的圖像是保留f(x)在x軸上及上方部分的圖像，并將x軸下方圖像作出它關于x軸的對稱圖即可;函數f(x)=|x－a|+|x－b|的圖像關于直線x=對稱，函數f(x)=|x－a|－|x－b|的圖像關于點成中心對稱．

3．4利用等價轉換簡化絕對值問題

例8設函數f(x)=x|x－a|+2x，若存在a∈［0，4］使得關于x的方程f(x)=tf(a)有3個不相等的實數根，則實數t的取值范圍是()

分析由已知得

圖4

例9若存在實數x0∈［1，3］，使得不等式成立，則實數a 的取值范圍是______．

則由題意知只要存在x0∈［1，3］使得a+3≥x0+成立．又，則a+3≥4且 5≥a－3，可得1≤a≤8．

評注在研究函數中含絕對值問題的最值、零點等問題時，等價轉換、數形結合是基本的解題方法，我們常將不等式問題轉化為2個函數圖像的上、下關系來解，方程解的個數轉化為2個熟悉的函數圖像的交點個數問題來求解，力爭減少分類討論．

3．5利用放大、縮小巧解絕對值問題

例10已知二次函數f(x)=－x2+bx+c在區間(m，m+1)(其中m∈R)上存在2個不同零點，設則()

分析設函數f(x)的2個零點為α，β(其中α≠β)，則

且

設t=min{|f(m)|，|f(m+1)|}，則

例11已知函數f(x)=x2+ax+b，記M(a，b)是|f(x)|在區間［－1，1］上的最大值．

1)證明:當|a|≥2時，M(a，b)≥2;

2)當a，b滿足M(a，b)≤2，求|a|+|b|的最大值．

分析這是2015年浙江省數學高考理科試題第18題，主要考查二次函數的性質、分類討論及轉化化歸等數學思想．

1)當|a|≥2時可知f(x)在［－1，1］上是單調函數，則

顯然M(a，b)≥|f(1)|，M(a，b)≥|f(－1)|，則

故M(a，b)≥2．

(此題也可通過分a≥2與a≤－2討論來解決．)

2)由M(a，b)≤2得

則|a+b|≤3，

當a=－2，b=－1時取等號;同理由|1－a+b|= |f(－1)|≤2得

當a=2，b=－1時取等號．又

故|a|+|b|的最大值為3．

評注解決函數中含絕對值的范圍或最值問題時，經常構造2個式子的和或積，再利用基本不等式或絕對值三角不等式來進行放縮，從而借助整體思想巧妙得到解決，但要注意取等號的條件．

4　精題集萃

1．設函數f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，對于函數h(x)= |f(x－1)|+g(x－1)，則下列結論中正確的是()

A．h(x)的圖像關于點(1，0)對稱

B．h(x)的圖像關于點(－1，0)對稱

C．h(x)的圖像關于直線x=1對稱

D．h(x)的圖像關于直線x=－1對稱

A．(4，16)B．(0，12)

C．(9，21)D．(15，25)

3．設函數f(x)=|log2ax|在上的最大值為M(a)，則M(a)的最小值是()

4．已知f(x)=a|x－2|，若f(f(x))＜f(x)恒成立，則a的取值范圍為()

A．a≤－1B．－2＜a＜0

C．0＜a＜2D．a≥1

5．已知函數f(x)=x2+ax+1，若存在x0，使同時成立，則實數a的取值范圍是______．

6．定義域為R的奇函數f(x)=x|x+m|，若對任意的x1，x2∈［1，1+a］，總有|f(x1)－f(x2)|≤ 2，則實數a 的取值范圍是______．

7．已知f1(x)=|x－1|，fn+1(x)=|(n+ 1)fn(x)－1|，其中n∈N*，若函數y=f3(x)－kx恰有4個不同的零點，則正實數k 的值為______．

1)若f(x)在區間［0，1］上不單調，求a的取值范圍;

2)若對于任意的a∈(0，4)，存在x0∈［0，2］，使得|f(x0)|≥t，求t的取值范圍．

參考答案

1．C2．B3．B4．A

7．2

2)

當且僅當x=0或x=2時取等號，又(1+|a－2|)min=1，因此t≤1．