也談小學數學教學中滲透數形結合思想

孫政

《義務教育數學課程標準》（2011年版）明確指出，通過義務教育階段的數學學習，學生能“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗”。讓學生獲得數學的基本思想是數學課程的重要目標，數學思想的內涵十分豐富，主要包括抽象的思想、推理的思想、建模的思想等。其中數形結合思想是由“抽象的思想”派生出來的，在平時教學中若巧妙地運用數形結合的思想方法，能有效防止學生進行“機械學習”，能夠很好地促進學生對數學知識的意義建構。下面結合教學實踐，談談數形結合的思想方法在小學數學問題解決中的應用。

一、數形結合，形象展示數學方法

1.數形結合，直觀展示公式的推導過程

每一種數學公式的推導，都體現出某種數學思想方法，教學中必須揭示推導公式過程中隱含的數學思想和方法，指出它的名稱、內容和規律，并有意識地對學生進行訓練。數形結合為公式的推導展示了最為直觀的過程。

例如，在教學《乘法分配律》時，通過長方形面積及其長、寬的相應變化直觀展示出來，圖1中長方形的長是a，寬是b，面積是ab；圖2長是a，寬是c，面積是ac；圖3中大長方形面積為ab+ac=a（b+c）。

通過這種數形結合的方式呈現乘法分配律公式ab+ac=a（b+c），能有效地幫助學生加深對“數”的知識的理解和掌握，體現圖形的直觀優勢。更重要的是，在學生體會到數形結合的好處的同時，可以適時引導學生理解和體會數學知識內在的統一與和諧，發現和感受數學之美，激發數學學習的興趣，有效提高學生的思維品質和數學素養。

2.數形結合，直觀展示簡便的運算過程

小學數學教材中，計算占了相當大的比重。計算教學要引導學生理解算理，也就是計算方法的道理，學生如果不明白道理，是不可能學好計算的。在教學時，教師應以清晰的理論指導學生理解算理，正所謂：“知其然，知其所以然。”數形結合，是幫助學生正確理解算理的一種很好的方式。

學生這樣算會產生“計算過程有些復雜”的直接體驗，萌發尋找簡便算法的心向。在此基礎上，啟發他們大膽地畫正方形，把正方形看作單位“1”（如圖4），把算式中的加數填入下圖，直觀看出空白部分占整個圖形面積的，這樣就可以把分數連加題轉化為相對簡單的一步分數計算這個過程不僅能使學生進一步體會到轉化的方法可以使問題化繁為簡、化難為易，而且能初步體會到用直觀的“形”表示抽象的“式”，使抽象、內隱的數學關系變得更加明朗、清晰。

3.數形結合，直觀展示算理的分析過程

數形結合是溝通學生形象思維和抽象思維的橋梁。在算理分析時，教師要適時借助直觀圖、操作學具等方法，幫助學生理清算理，正確掌握數學方法，做到“循理入法，以理馭法”。巧妙地運用數形結合，算理分析會顯得生動活潑、多姿多彩。

在這里，充分利用方格圖，關鍵看剩下的牛奶，這樣就能把數量關系與圖形巧妙地結合在一起。

4.數形結合，直觀展示數的大小比較過程

數軸是建立數與點的一一對應關系，揭示數與形的內在聯系，使抽象的數變得有“形”可依。借助數軸比較數的大小，既生動直觀，也便于找出比較數的大小的方法。

例如，教材中認識負數的練習：先填一填，再在直線上描點表示-2和-4，這兩個數哪個更接近0呢？

通過讓學生填一填、描一描，感受數與數軸上的點的對應關系，為發展學生數感提供豐富經驗。接著讓學生觀察數軸上從左向右各點表示的數，得出數軸上表示的數，向右數越來越大，向左數越來越小，右邊數大于左邊數，也就是負數<0<正數。最后，讓學生比較數軸上表示-2和-4的點與0的距離。在比較兩個負數大小時，與0距離越小，這個數就越大，也就得出-2與-4相比，-2更接近0。

借助數軸不僅能準確判斷出數的大小，有時還能比較出大數與小數的差，為學生建立數感提供幫助。

二、數形結合，優化解決問題的策略

1.由數解形——從抽象到具體

根據數學問題中“數”的結合特征構造出與之相應的幾何圖形，并利用幾何圖形的特征、規律來研究解決問題的策略，可以把抽象的知識具體化，也易于展示問題的內在聯系，讓學生更加容易理解。

例如：長方形ABCD周長40厘米，分別把它的長和寬延長5厘米，那么它的面積增加多少平方厘米？

根據題意，周長40厘米的長方形ABCD（如圖8）。分別把長方形的長AB和寬AD延長5厘米（如圖9）。

從圖9中可以看出，增加的面積就是圖中的陰影部分面積，增加部分的面積用分割的方法可分為S1、S2、S3三個部分，這樣通過計算得出增加部分的面積是S1+S2+S3=AD×5+AB×5+55=（AD+AB）×5+25=40÷2×5+25=125（平方厘米）。

這樣通過問題解決，學生可以體會代數與幾何圖形之間的聯系，在解決問題的過程中讓學生感受到數學的應用價值，發展數學思維能力，獲得一些研究問題和解決問題的經驗和方法。

2.借形思數——從圖形到直觀

有關解決問題的策略的題目，可以通過畫圖理清數量之間的關系，最終通過圖形關系實現推理解答問題。

例如：外國語實驗小學舉行小學生足球比賽，有4支隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。每2支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？

分析：每2支球隊比賽一場，是指任意2支球隊之間都要比賽一場，既不能多，也不能少。分析時嘗試讓學生畫圖思考，先用4個點表示4支球隊；再用每2點之間的連線表示球隊之間所進行的的比賽，連線6條，就有6場比賽。（如圖10）

數學活動里的畫圖和推理，歸根到底都是計算。推理是抽象的計算，計算是具體的推理，而圖形是推理的直觀模型。

3.數形兼容——從繁雜到簡易

在文字表述的應用題中數量關系復雜時，采用韋恩圖能很好地幫助學生理清數量之間的關系，從而明確解題思路，進而找出解題方法。

例如：某班有學生45人，參加演講比賽的有16人，參加書法比賽的有14人。如果這兩種比賽都沒有參加的有20人，那么同時參加演講、書法這兩種比賽的有多少人？

分析：由題意畫出韋恩圖（如圖11）：

由圖可知，參加比賽的人數為45-20=25（人），而參加演講比賽的人數+參加書法比賽的人數為16+14=30（人）。30人比25人多，這是因為有部分人既參加了演講比賽，又參加了書法比賽，這部分人重復計數了，所以同時參加演講、書法兩種比賽的人數（圖中陰影部分）為30-25=5（人）。

實踐證明，數形結合是溝通實際問題與數學算式之間的重要橋梁，對學生解決問題具有顯著的促進作用。另外，還應注意，數形結合的教學方法不是萬能妙藥，需要適時進行抽象的數學邏輯思維訓練，提高學生的思維品質。

綜上所述，在小學數學教學中，教師要從數學發展的全局著眼，從具體的教學過程著手，有目的、有計劃地滲透數形結合思想，使學生逐步形成數形結合思想，并使之成為學習數學、解決數學問題的工具，這是我們數學教學著力追求的目標。筆者希望，通過數形結合的思想方法，為學生解決問題提供一條坦途，讓學生因此而更加熱愛數學學習。