模型，想說“愛”你不容易

屠志艷 趙飛

“模型思想”是《義務教育數學課程標準》（2011年版）十大核心詞之一。新課標指出：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。

從以上論述中可以看出，建立數學模型必須立足于生活情境，對生活情境中的實際問題加以提煉，得到能反映問題變化的數量關系和規律，即數學模型，并且重新進入情境驗證模型，用模型解釋現實問題。重視培育和發展學生的模型思想對學生的后續發展是有利的。一方面能使學生對知識追本溯源，深刻理解知識本質；另一方面也能在一定程度上提高數學學習的興趣和數學應用意識。

下面，筆者從“乘法運算律”的教學實際入手，并由此想開去，談談數學建模的實踐與思考。

一、單層級意義理解，學生感悟深刻嗎

“乘法運算律”是蘇教版數學四年級下冊的教學內容，例3、例4、例5分別教學乘法交換律、結合律和分配律。

例3的教學流程一般是這樣的：出示情境圖說說信息（有3組學生踢毽子，每組5人）與問題（一共有多少人踢毽子）；學生列式計算（5×3=15人或3×5=15人），初步感知兩道算式有什么相同和不同；根據結果相同，用等號連接組成等式5×3=3×5；比較等號兩邊算式的異同，進一步感知規律；小組活動舉例驗證，說說發現；小組展示研究成果，在交流中概括出乘法交換律的意義，并用字母式表示；揭示乘法交換律的名稱。

意義理解是模型建構的基礎，但是單層級感知算式意義，會造成對運算律的理解不夠厚實，不利于模型建構。以上教學過程中單層級感知算式意義表現在：因為5×3=15人，3×5=15人，結果相同，所以可以用等號連接組成等式。這樣單純從得數上比較算式，忽視了情境圖在理解等式成立上的功能。筆者認為，乘法交換律、結合律的教學可以從兩個層級促進意義理解。即從得數直觀發現相等，再到結合情境從數量關系的角度說明相等，而乘法分配律的教學可以再多一個從運算意義的角度說明相等。多層級促意義理解，學生才能感悟深刻，才能為建構模型奠定堅實基礎。

意義理解除了要多層級感知，還要注意多方式感知。感知意義的方式有：算式、圖形、動作提示等。眾多方式中最常用的就是“博喻”，俗稱“打比方”。

【乘法分配律教學片段】

[根據情境圖抽象出等式（6+4）×24=6×24+4×24，并引導學生觀察]

師：這些算式有什么特點？

生：等號左邊是兩個數相加，再用它們的和乘第三個數。右邊是用這兩個數分別與第三個數相乘，再把積相加。

師：老師發現，這個算式與我們生活中學生拜訪老師有點相似。（學生愕然）

師：“6”和“4”好比是兩個同學，他們手拉著手[板書：（6+4）]一起去拜訪老師“24”[板書：24]。門開了，老師很高興，伸出手先與第一個同學握手[板書：6×24]，又與第二個同學握手[板書：4×24]，最后一起坐在沙發上[板書：6×24+4×24]。

生：真像！真像！

用“老師”和“學生”比作算式中的數，由生活場景中的“握手”類推至計算，學生不費吹灰之力就理解了算式的意義。一個形象的比喻，突破了教學難點。

二、純模仿符號表達，學生自覺主動嗎

深刻感知算式意義后進行情境剝離，在抽象思考的基礎上建立模型，才是發展學生數學思考力的根本。它是指知識從具體的情境中分離抽象出來，從而超越情境成為概括性知識，也就是“數學化”的過程。在“乘法結合律”的教學中，教者引導學生抽象完成字母表達式的過程一般是這樣的：寫一些與（23×5）×6=23×（5×6）一樣的等式，說說發現，驗證猜想；字母a、b、c分別表示三個數，以上等式可以寫成（a×b）×c=a×（b×c），板書字母式完成數學建模。上述教學從一般敘述到抽象化、符號化表達的過程過于單薄和牽強。這樣的建模過程是純模仿性的，是被動的，學生缺乏主動、自覺的意識。因此，筆者認為，由具體的實例抽象出字母式要在學生充分領悟情境內涵，并在積極的內驅下主動完成。

【乘法結合律教學片段】

板書學生舉例的等式。

師：這樣的等式寫得完嗎？（寫不完）（教師在最后一個等式的后面加上省略號）

師：黑板上現在有無數個等式，老師卻能用一個式子全概括進去。相信嗎？

“老師卻能用一個式子全概括進去。”簡短的一句話，調動了學生積極探究的興趣。從文字表達，到符號表達，再到字母表達，學生在自身內驅力的作用下一步步完成模型建立。

由于受年齡特點和知識基礎的制約，學生自覺主動建模的意識不強，實際教學中教師也可以用“逼”的方法促進主動建構。如教學“用數對確定位置”時，教師快速報10個用“第幾列第幾行”描述的位置，學生來不及記錄，于是想到用“53”“5-3”“5.3”“（53）”“（5-3）”等簡單的記錄方法，然后進行交流與評析，最后出示正確規范的表示方法“（5，3）”。又如教學“表面涂色的正方體”，棱三等分時三面、兩面、一面涂色的小正方體各有多少個？當學生分組切分操作完成后，教師說：“你們用時5分鐘，太慢了。能快一點嗎？”促使學生根據三面、兩面、一面涂色的小正方體在大正方體的位置特征進行計算。

此外，在建構模型的過程中還要重視幾何直觀與語言表述，化復雜為簡單，化抽象為形象。曹培英老師認為，幾何直觀和語言描述在建模中的作用很大，適當的現實情境與幾何直觀，即生活經驗的刺激與視覺觀察，可以相輔相成。建模的過程是抽象的、復雜的，教師要注意找尋方法，多舉措促使學生自覺主動地完成建模。

三、棄模型追求湊整，利于解釋記憶嗎

完成抽象化、符號化表達后就進入解釋、應用環節。此環節能促使學生對圖形表達和符號化的理解。乘法結合律的課堂練習有兩道練習題，學生分男女生兩組計算第二題的兩組題。根據速度的快慢，學生初步感悟湊整法的優越性。在第三題算三數之積時，學生不約而同算成4×5×30=600，教師小結：用湊整法算三數之積比較簡便。筆者認為這樣處理習題，脫離了運算律教學，違背了編者意圖，不利于學生解釋和記憶模型。運算律知識集中安排在四年級下冊，當堂的教學效果貌似可以，但是遇到綜合練習、特征變式、有隱蔽數的時候錯誤就會增多，原因是學生對運算律的形式結構理解、記憶得不到位。筆者對運算律解釋、應用環節的教學有兩點建議：

其一，對比與直觀，加強模型理解。在實際教學中，要強化題組對比，有不同運算律習題之間的對比、能簡算與不能簡算習題之間的對比、同一道題不同計算方法之間的對比，等等。在對比練習中使學生理解模型，并內化為自身的知識結構。為了防止思維僵化與機械記憶，要重視幾何直觀在理解模型上的作用，用幾何直觀支撐具體習題，讓抽象、靜態的式題具象化、動態化。這是從“意”的角度解釋應用模型。

其二，對應與觀察，加強模型記憶。運算律教學不僅要從“意”上理解，也要能從“形”上記憶，努力做到“形意兼備”。在面對具體題目時，不必每次返回情境，可以直接套用腦中的運算律模型表象。就像金匠師傅澆鑄金器使用的模具，一次成型，多次使用，不必每次先筑模。所以，教學中要注意引導學生說出式題中的數分別對應運算律里的哪個字母，在“數”與“字母”、“式”與“型”的對應中加強記憶。此外，還要引導學生關注細節，通過對左右兩個式子結構特征的細微觀察，固化模型。這是從“形”的角度解釋應用模型。

綜上所述，模型思想是重要的數學思想，在實際教學中要多層級、多方式促意義理解，多方法、多舉措促主動建模，多觀察、多對比促應用內化，讓學生思維不僵化，理解更深刻，努力培養學生追本溯源的數學精神，發展應用意識。