例談初中生數(shù)學基本活動經驗的積累

【摘 要】學生的數(shù)學基本活動經驗需要在有意義的數(shù)學學習活動中逐步積累。基于此，積累數(shù)學操作的經驗、積累數(shù)學交流的經驗、積累數(shù)學反思的經驗、積累數(shù)學遷移的經驗，并將這些經驗用于問題的解決，從而深化對數(shù)學問題的認知理解，促進“數(shù)學地思維”的主動建構。

【關鍵詞】基本活動經驗；積累；理解；建構

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）18-0039-03

【作者簡介】張文明，江蘇省常熟市外國語初級中學（江蘇常熟，215500）教師，常熟市教科研能手。

《義務教育數(shù)學課程標準（2011版）》中明確指出：“通過義務教育階段的學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗?！庇纱丝梢?，數(shù)學的基本活動經驗是學生實現(xiàn)數(shù)學學習過程性目標的一個重要載體，它在數(shù)學學習中具有舉足輕重的作用與價值。張奠宙教授等人認為數(shù)學的基本活動經驗是：“在教學目標的指引下，通過對具體事物進行實際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認識?！币簿褪钦f，在經歷有意義的數(shù)學學習活動中，學生能夠了解數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的過程，體會數(shù)學知識和方法的運用，積累解題經驗，逐步提升元認知水平，從而學會“數(shù)學地思維”。在初中數(shù)學學習中，學生需要積累哪些經驗呢？筆者試作如下探討。

一、積累數(shù)學操作的經驗

此處的數(shù)學操作主要指具體行為的操作，而不是指思維的操作。日常教學中常說的“讓學生親身經歷操作的過程”就是期望學生獲得這種操作的經驗。學生通過操作體驗可以獲取進行抽象的直接素材，從而獲得直接經驗。這種操作主要是為了獲得第一手的直接感受、體驗和經驗，為探究和解決問題提供重要的基礎與手段。在數(shù)學學習中，學生通過量一量、畫一畫、拼一拼等操作性活動來解決數(shù)學的高度抽象性與自身思維形象性之間的矛盾；以操作為突破口進行解疑釋惑，為學生從感性認識過渡到理性認識打下堅實的基礎，直至升華到對數(shù)學知識的程序性與創(chuàng)造性理解的層次。

例1：長為20，寬為a的長方形紙片（10

審讀本題后，學生會發(fā)現(xiàn)不方便正向推演，但第三次操作后得到的圖形是正方形，則我們可“倒推”，從而知道第二次操作后的圖形，進一步可以知道第一次操作后的圖形，再推理出原來的長方形紙片的寬。于是，結合小紙片在草稿上畫出圖2來，進而解出題目。

數(shù)學操作活動是集歸納推理與演繹推理于一體的數(shù)學學習手段，是學生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要途徑之一。學生可從中提煉解決問題的操作要義和思想方法，在此過程中可使知識從內隱到外顯，從操作活動中積累經驗，獲得從具體到抽象的深入認識，從而構建較為縝密的知識體系。

二、積累數(shù)學交流的經驗

數(shù)學交流主要指通過對話分享思想和認識。數(shù)學交流活動是學生學習數(shù)學的重要方式之一。在數(shù)學學習活動中通過廣泛的交流活動，使學生與外界信息接觸，在碰撞、排斥、融化、吸收、溝通中不斷地建構起自己的知識體系。它不僅有利于信息（問題分析、問題理解、問題解決等信息）的傳輸，還能喚起學生的問題意識，促進學生思維的升華，增進學生的理解，同時還有利于發(fā)揮學生學習的主動性，培養(yǎng)學生積極的學習態(tài)度和情感，促進學生和諧發(fā)展。師生對話、生生對話可以幫助學生在對話中復習數(shù)學概念、解析數(shù)學問題，去除對數(shù)學問題的盲點、疑點等，逐漸接近數(shù)學本原，理解數(shù)學本質。

例2：如圖3所示，在矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF=3，求AB的長。

教師在講解此題時，可先提出如下問題：讀題釋義，你們能否說一下讀完本題后的想法？接著根據(jù)學生的回答，不時地提出“是什么”和“為什么”的問題，學生在教師的引導下，會逐漸說出如下觀點：

①“折疊紙片使AB邊與對角線AC重合”中的“折疊”就是上一章我們學過的軸對稱變換，折痕所在直線即為對稱軸。

②軸對稱性質之一是圖形具有全等性：成軸對稱的兩部分是全等形，對應邊、角相等。

③剛才的折疊可用符號表示為：△ABE≌△AFE，AB=AF，BE=FE，∠BAE=∠FAE。（符號化思想）

④建議立刻在圖上標出BE=EF=3，易算CE=5，CF=4，但是AB無法直接計算出來。（顯性化策略）

⑤可以用方程，不妨設AB=x，則AF=AB=CD=x。（方程思想）

⑥利用直角三角形的勾股定理建立方程。因為在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，所以x2+82=（x+4）2，解方程得x=6。

可以看到，在師生的討論、對話中運用了符號化思想、顯性化策略、方程思想等，同時也積累了學生數(shù)學交流的經驗。

馬丁·布格說：“在教學中，不是一種遠距離的‘我—他關系，而是一種近距離的‘我—你關系，正是這種‘我—你的關系和敞開胸懷，才可以稱之為對話。”在這種對話交流中學生大膽發(fā)言，合理猜想，自主推理，從而學會思考與質疑，從中健全自己的知識體系。從這層意義上說，數(shù)學交流是積累數(shù)學活動經驗中極其重要的一環(huán)。

三、積累數(shù)學反思的經驗

反思，即為反過來思考，回頭反省。數(shù)學反思往往是學生經歷一個學習歷程后對解決方法、過程、策略等方面進行梳理與歸納，回顧問題解決的正誤、得失等思維過程。史寧中教授認為：幫助學生積累基本活動經驗，就是使學生會想問題，會做事情。皮亞杰提出“反省抽象”，即自己做了實踐性活動后脫身出來，作為一個旁觀者來看待自己剛才做了些什么事情，把自己所做的過程置于被自己思考的對象地位上加以考慮，并從中歸納出結論。

例3：已知平行四邊形ABCD的周長為52，過頂點D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F分別為垂足，若DE=5，DF=8，求BE+BF的長。

一般情況下，學生的第一反應，會畫出如圖4所示的圖形，進而利用S□ABCD=AB·DE=BC·DF，這一等式，列方程解出答案為26+13。

教師此時需要提醒學生再思考下問題的已知條件與所畫的幾何圖形是否恰好對應。學生在思索一番后，能夠恍然大悟，畫出圖5，用同樣的方法解出答案為6+3。

在教學中教師引導學生對審題、幾何作圖、表達形式、求解等方面的反思有助于尋求正確答案、規(guī)范解題的書寫以及探尋思維的過程。弗賴登塔爾說過：“只要兒童沒能對自己的活動進行反思，他就達不到高一級的層次。”只有經歷了反思，才能讓知識背后的方法、策略、思想等一一凸顯出來。因此，引領學生進行學習活動的反思是提升經驗的必要途徑。在數(shù)學學習中，教師需著重引導學生進行兩方面的反思：一是方法性反思，經歷問題的思考和解決后，引導學生反思解題方法的優(yōu)劣，哪種方法是通解通法，哪種是巧解妙法，在學生的反思中進一步感知問題的解決價值；二是過程性反思，教師引導學生回顧問題的解決過程，關注問題解決中條件和結論的聯(lián)系過程，明晰學習與研究的方法與策略，獲得策略性經驗。

四、積累數(shù)學遷移的經驗

數(shù)學遷移通常被理解為，把此問題的思想方法應用于彼問題之中（包括問題的提出、分析、解決、拓展等環(huán)節(jié)）。數(shù)學有效教學的重要指標之一是學生擁有較強的數(shù)學遷移能力。在問題的解決過程中，學生一般要經歷“建立數(shù)學問題的心理表征→類比聯(lián)想，建立數(shù)學問題空間→具體匹配，轉換數(shù)學問題空間→概括解題經驗，改組原有認知結構”的過程。學生結合問題進行合理表征，并能夠聯(lián)系自己的認知結構，將已有的思維方法映射于待解決的問題中，數(shù)學遷移能力漸次得到提升。

例4：如圖6，在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC=120°，∠BAC的平分線交BC邊于點D，求AD的長。

某學生的思路和解法如下。我記得以前做過這樣一個題目：如圖7，在△ABC中，AB=6，AC=10，求BC邊上中線AD的取值范圍。該題有兩種解法：①延長AD到E，使DE=AD，易證△ECD≌△ABD，從而可得DE=AD，EC=AB=6，由于4

如圖8，過點C作CE∥AB，交AD的延長線于E。

因為∠BAC=120°，AD是∠BAC的平分線，所以∠BAE=∠CAE=60°。因為CE∥AB，所以∠E=∠BAE=60°，且△ABD∽△ECD。所以△ACE是等邊三角形，且 = ，所以AE=EC=AC=3。又因為AB=6，所以AD=2。

在問題的解決過程中，教師可比較相似問題間的結構、模式、表征、衍生等方面的區(qū)別和聯(lián)系，促使學生提升數(shù)學遷移意識和數(shù)學遷移能力。為此，教師需注意以下幾個方面：首先，在平時的教學中教師需重視基本知識的滲透，否則數(shù)學遷移就變成無源之水；其次，可對諸問題進行重組和二次開發(fā)，形成問題鏈，以提高學生對問題遷移的意識；最后，教師要有意識地將數(shù)學思想方法顯性化，將一些基本模型凸顯出來，以方便學生在解決類似問題時進行“模式識別”，順利進行遷移。

綜上所述，數(shù)學基本活動經驗的積累是一個長期而艱巨的過程?；顒咏涷炓奎c滴滲透，逐步積累，因此，教師在教學活動中要持續(xù)不斷地構建靈活多樣的學習形式，讓學生循序漸進地獲得感知、體悟，直至建構出縝密的知識網，從而實現(xiàn)基本活動經驗的積淀。

【參考文獻】

[1]張奠宙，竺仕芬，林永偉.“基本數(shù)學經驗”的界定與分類[J].數(shù)學通報，2008（05）：4-7.

[2]郭玉峰，史寧中.“數(shù)學基本活動經驗”研究：內涵與維度劃分[J].教育學報，2012（05）：23-28.

[3]郭桂芳.初中生數(shù)學基本活動經驗積累的實踐研究[D].長沙：湖南師范大學，2008.