從高考試題看高中數(shù)學圓錐曲線解題技巧

趙倬

[摘要]結合具體的實例對圓錐曲線部分在高考中的出題策略予以剖析，以期證實上述的思想方法對于解答圓錐曲線類題目是不可缺少的解題技巧。

[關鍵詞]高考試題；圓錐曲線；解題技巧

一、在高考試題下看數(shù)學試題

在近些年的高考試題中，圓錐曲線的出題方式一般以一個客觀題和一個分布在試卷靠后位置的主觀題項目為主。圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線，雖然屬于平面圖形，但是解析幾何的直觀在這里從對概念的理解開始便在發(fā)揮作用。圓錐曲線的命題重點首先圍繞著對象的概念和性質(zhì)來展開，其次是直線與圓錐曲線的位置關系。先行從代數(shù)的角度學習直線和圓的性質(zhì)，從對對象的直觀理解中躍入解析幾何的抽象領域，圓錐曲線部分要求學生從一開始就在發(fā)散思維的原則下超越到完全以方程的思想來約束并把握圓錐曲線的幾何性質(zhì)。隨著對其性質(zhì)探討的逐步深入，在思想方法上將會涉及數(shù)形結合的思想、化歸的思想、分類討論的思想以及函數(shù)與方程的思想等。因為以圓錐曲線為主題的試題變體很多，所以在對具體試題的處理過程中，還要求在綜合運用這些思想方法的同時，學生具備一定程度的計算能力。

二、高中數(shù)學圓錐曲線解題技巧

下面這部分試題圍繞著圓錐曲線的基本知識，在與方程的待定系數(shù)法相結合的過程中，復合有其他平面幾何圖形的知識。或是說，題目的設計技巧體現(xiàn)在圓錐曲線信息的有效性取決于先行的其他平面幾何圖形的知識的有效性，例如三角形。

1。客觀題部分

例1 （新課標2·2015）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為（ ）。

A。5 B。2 C。3 D。2

解析 該題的核心知識點有兩個：等腰三角形的性質(zhì)；雙曲線的標準方程和性質(zhì)。①將雙曲線方程設定為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），如圖；②因為AB=BM，∠ABM=120°，過點M作MN垂直于X軸，垂足為N，在Rt△BMN中，求得BN=a，MN=3a，M點的坐標為（2a，3a），③根據(jù)雙曲線方程、c2=a2+b2以及離心率e=ca（e>1），可以求的c2=2a2，e=2，因此本題選D。本題涉及的基本思想方法是待定系數(shù)法。

2。主觀題部分

首先，是數(shù)形結合的思想方法，這種思想方法特點在于將圓錐曲線從平面的角度視為一種運動中的軌跡，在此背景下，題目的考核目標往往是與軌跡相關的邊緣域問題、定值問題、最值問題等。

例2 （山東·2015）平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：x24a2+y24b2=1（a>b>0）的離心率為32，左、右焦點分別是F1和F2，以F1為圓心以3為半徑的圓與以F2為圓心1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上。

（Ⅰ）求橢圓C的方程。

（Ⅱ）設橢圓E；x24a2+y24b2=1，p為橢圓C上任意一點，過點P的直線y=kx+m交橢圓E于A和B兩點，射線PO交橢圓E于點Q。

（ⅰ）求OQOP的值。

（ⅱ）求△ABQ面積的最大值。

解析 本題的核心知識點有：橢圓的定義；韋達定理與最值問題；橢圓與直線的位置關系問題。①根據(jù)橢圓的定義2a是定值，以及e=32，結合橢圓的標準方程求的a=2，b=1，因此橢圓的方程為C：x24+y2=1。②根據(jù)題意，設OQOP=λ，P（x0，y0），則Q（-λx0，-λy0）。又x24a2+y24b2=1，所以將P和Q帶入方程解得，λ=2，所以OQOP=2。③根據(jù)題意設A（x1，y1），B（x2，y2）。將y=kx+m帶入方程x216+y24=1得到（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0，根據(jù)韋達定理，由Δ>0，m2<4+16k2（Ⅰ）；x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-161+4k2，x1-x2=416k2+4-m21+4k2。因為直線y=kx+m與軸焦點的坐標為（0，m），所以△ABO的面積為S=12mx1-x2=24-m21+4k2m21+4k2，令m21+4k2=t，由Δ≥0，可得m2≤1+4k2（Ⅱ）。由（Ⅰ）和（Ⅱ）可得，0

與數(shù)形結合的思想方法相適應的題目類型有：圓錐曲線通過構造出的三角形關系，與直線、韋達定理、函數(shù)的最值問題等建立起邏輯關聯(lián)，依靠代數(shù)法或幾何法解題，其中涉及例如聯(lián)立方程法、整體消元法等解題技巧，強化計算能力，助力高考。

其次，是化歸、分類討論以及函數(shù)與方程的思想方法，將這幾種思想方法綜合起來看，它主要強調(diào)考生通過建立起圓錐曲線與方程之間的關聯(lián)，在簡化思想模型的基礎上，進行有效地推理與論證。建立在數(shù)形結合的基礎上，分類鎖定知識背景中的相關考點，化歸簡化思想路徑，最終用代數(shù)轉方程來表達圓錐曲線與關聯(lián)對象之間的相互關系（例題略）。

三、總 結

在對圓錐曲線問題的解答中，需要考生靈活運用相關知識，綜合性的考慮各種可行性方案與可能的因素，配合一定的解題技巧和計算能力給出答案。