仔細(xì)研讀教材 精心設(shè)計(jì)教學(xué)

周長(zhǎng)林　王英偉

[摘要]提高課堂效率是數(shù)學(xué)教學(xué)的永恒主題，是無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)教師追求的目標(biāo)，那么怎樣讓課堂高效，使學(xué)生的思維得到訓(xùn)練，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力提高，這就要求教師要立足教材，整合教材，了解學(xué)情，精心設(shè)計(jì)好每一堂課。

[關(guān)鍵詞]課堂教學(xué)；整合教材；思維訓(xùn)練

一、教學(xué)設(shè)計(jì)要瞻前顧后

教師要整體把握教材，通曉教材的前后聯(lián)系，宏觀(guān)了解其編寫(xiě)的體例與說(shuō)明，形成對(duì)教材的宏觀(guān)認(rèn)識(shí)，清楚各個(gè)模塊的前后聯(lián)系。仔細(xì)研讀教材，理解編者的意圖。

案例1：《任意角的三角函數(shù)定義》教學(xué)設(shè)計(jì)的一些思考

在學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)定義之前，學(xué)生在初中已學(xué)過(guò)直角三角形中銳角的三角函數(shù)的定義，而且學(xué)生對(duì)這個(gè)定義印象非常深刻。在講本節(jié)課之前，我反復(fù)琢磨，怎樣立足初中學(xué)過(guò)的定義，依據(jù)學(xué)生現(xiàn)有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，將“舊”定義，趕出學(xué)生的頭腦，樹(shù)立起“新”觀(guān)念。另外，對(duì)于不同版本的教材，任意角的三角函數(shù)定義也略有不同，一種是終邊坐標(biāo)法，一種是單位圓法。兩者各有優(yōu)點(diǎn)，終邊坐標(biāo)法符合三角函數(shù)形成發(fā)展的規(guī)律，反映數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，突出比值，易與初中定義銜接；單位圓法，定義形式簡(jiǎn)單，更符合函數(shù)的概念，為今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)、同角的三角函數(shù)關(guān)系、誘導(dǎo)公式提供了方便，這也正是編者的意圖。兩種定義各有千秋、難以取舍。怎樣設(shè)計(jì)本節(jié)課，才能既符合學(xué)生原有的認(rèn)知水平，又使教學(xué)流暢、自然，兼顧不同定義的優(yōu)點(diǎn)。

《任意角的三角函數(shù)定義》教學(xué)片斷：

圖 1

教師：在Rt△POQ（如圖1）中，若OQ=x，QP=y，OP=r，記∠POQ=α。

求：sinα，cosα，tanα。

圖 2

教師：將Rt△POQ（如圖2）放在坐標(biāo)系中，以O(shè)為原點(diǎn)，α為任意角，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則α的正弦、余弦、正切可以看成角α終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)比，與點(diǎn)P在終邊的位置有關(guān)嗎？

教師：請(qǐng)同學(xué)們回憶函數(shù)的概念。（期待學(xué)生說(shuō)出從實(shí)數(shù)到實(shí)數(shù)的映射，而在α的正弦、余弦、正切中，α（弧度）是實(shí)數(shù)，卻與比值對(duì)應(yīng)，不符合以往對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，怎樣將它們的形式優(yōu)化？（從而引出單位圓的概念。）

教師：怎樣選取點(diǎn)P，能將sinα=yr，cosα=xr的形式得到優(yōu)化。（學(xué)生自然會(huì)想到r=1，找到點(diǎn)P）

在例1中，求5π3的正弦、余弦和正切值。學(xué)生會(huì)想到用單位圓法。可是在例2中，已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0（-3，-4），求角α的正弦、余弦和正切值。學(xué)生會(huì)感受的終邊坐標(biāo)法的優(yōu)越性。

這樣教師通過(guò)問(wèn)題引導(dǎo)、層層遞進(jìn)，使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，簡(jiǎn)單問(wèn)題具體化，定義得以?xún)?yōu)化。實(shí)際學(xué)生得到了兩種形式的任意角的三角函數(shù)定義，發(fā)現(xiàn)雖形式不同，但本質(zhì)一樣，上升到哲學(xué)高度。最后強(qiáng)調(diào)本節(jié)課一“破”一“立”，打破了三角函數(shù)定義在直角三角形的局限，樹(shù)立了用角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義三角函數(shù)的新觀(guān)念。

日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏說(shuō)：“學(xué)生們?cè)诔踔小⒏咧械冉邮艿臄?shù)學(xué)知識(shí)，因畢業(yè)進(jìn)入社會(huì)幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常是出校門(mén)不到兩年，很快就忘掉了。然而不管他們從事什么工作，唯有深深地銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想方法、研究方法、推理方法和著眼點(diǎn)卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生。”我理解的高效課堂是通過(guò)這節(jié)課學(xué)生學(xué)到了知識(shí)，發(fā)展了思維，提升了能力并能上升到哲學(xué)的高度。在學(xué)生走出教室、走出校門(mén)，若干年后，仍留在頭腦中的東西。

縱觀(guān)數(shù)學(xué)教材的編排，知識(shí)是呈螺旋式上升的，教師要了解中小學(xué)數(shù)學(xué)中每個(gè)主要概念的來(lái)龍去脈，把知識(shí)連成線(xiàn)、織成面、構(gòu)成網(wǎng)。高中數(shù)學(xué)知識(shí)中，許多章節(jié)起著承前啟后的作用，肩負(fù)著重要的使命。如《平面向量的基本定理》，這一節(jié)內(nèi)容是本章的“分水嶺”，在這之前向量只有“形”和“符號(hào)”的表示，向量的運(yùn)算也只有“形”和“符號(hào)”的運(yùn)算。而在這之后，向量有了坐標(biāo)，就將向量的運(yùn)算納入到數(shù)的運(yùn)算范疇；平面向量的基本定理既是向量共線(xiàn)定理的發(fā)展，又為今后學(xué)習(xí)空間向量基本定理奠定了基礎(chǔ)。因此教師在實(shí)施教學(xué)時(shí)必須采用聯(lián)系的觀(guān)點(diǎn)，立足教材，巧妙地對(duì)教學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)，更好地整合教材，才能有高效的課堂教學(xué)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)要左顧右盼

作為新時(shí)代的教師，特別是具有新課程理念的教師，不但要熟知本學(xué)科知識(shí)結(jié)構(gòu)，具備駕馭、整合本學(xué)科教材的能力，還應(yīng)跳出本學(xué)科教材，汲取跨學(xué)科教材的養(yǎng)分，搞好跨學(xué)科教材的整合。高中數(shù)學(xué)與物理、地理、化學(xué)等學(xué)科都有密切的關(guān)系，因此教師在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，還要橫向比較，加強(qiáng)學(xué)科間的聯(lián)系。

數(shù)學(xué)與物理兩學(xué)科有許多知識(shí)的交叉與融合點(diǎn)，如向量、向量的平行四邊形和三角形法則，割線(xiàn)逼近切線(xiàn)、變力做功、瞬時(shí)速度、周期教學(xué)時(shí)間有滯后或超前現(xiàn)象，要根據(jù)教學(xué)需要作適當(dāng)調(diào)整，可適當(dāng)將數(shù)學(xué)（物理）所學(xué)的相關(guān)知識(shí)以問(wèn)答形式布置給學(xué)生預(yù)習(xí)，或引導(dǎo)學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)（物理）教材中的相關(guān)內(nèi)容，加深對(duì)知識(shí)的理解，加強(qiáng)學(xué)科間的聯(lián)系，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是物理的工具，物理又促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。

案例2：如小船渡河問(wèn)題

小船渡河問(wèn)題屬于高中物理必修2《質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)》中的合成與分解問(wèn)題。實(shí)際要運(yùn)用向量中的平行四邊形法則來(lái)解決，而數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要滯后物理。那么在數(shù)學(xué)人教版必修4第二章《向量》部分習(xí)題2。5 B組第二題涉及小船行使時(shí)間最短問(wèn)題。

一條河的兩岸平行，河的寬度為d=500 m，一艘船從A處出發(fā)到河對(duì)岸，已知船在靜水中的速度|v1|=10 km/h，水流速度|v2|=2 km/h，要使船航行的時(shí)間最短，那么船行使的距離與合速度的比值必須最小。

分三種情況：（1）船順流行駛，與水流成銳角；

（2）船與對(duì)岸垂直行駛，與水流成直角；

（3）船逆流行駛，與水流成鈍角。

物理學(xué)采用的“化復(fù)雜問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題”的處理方法，把復(fù)雜運(yùn)動(dòng)看作是簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)的合成，分運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)決定了合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。渡河問(wèn)題是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，主要反映在用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力較弱。

物理中將問(wèn)題簡(jiǎn)化，各分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)、等效性。

圖 3

如圖3船頭與河岸垂直時(shí)，航行時(shí)間最短：t=s1v1=dv1。

數(shù)學(xué)的解決方法：

設(shè)v1與v2的夾角為θ，合速度為v，v2與v的夾角為α，行使距離為d，則

sinα=v1sinθv=10sinθv，d=0。5sinα=v20sinθ，

d|v|=120sinθ。

所以，當(dāng)θ=90°，即船垂直于對(duì)岸行速時(shí)所用時(shí)間最短。

對(duì)于同一問(wèn)題，兩學(xué)科解決的方法不同，物理偏重于應(yīng)用，將問(wèn)題簡(jiǎn)化，數(shù)學(xué)完全從運(yùn)算的角度，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值的問(wèn)題，但本質(zhì)是一樣的。更反映了數(shù)學(xué)是物理的工具，物理為數(shù)學(xué)注入了活力。因此教師在教學(xué)時(shí)，要善于尋找學(xué)科間的聯(lián)系，打破學(xué)科間的壁壘，優(yōu)化課堂設(shè)計(jì)，提高課堂效率。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)要聯(lián)系實(shí)際

新課程增加了數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，讓學(xué)生學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)。而實(shí)際教學(xué)中，受傳統(tǒng)教學(xué)思想的影響，教師對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用不夠重視，對(duì)與應(yīng)用有關(guān)的內(nèi)容整合、駕馭能力較差，導(dǎo)致學(xué)生害怕、抵觸與應(yīng)用有關(guān)的知識(shí)和題目。其實(shí)，這類(lèi)問(wèn)題“難”在從實(shí)際背景中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)過(guò)程中重視從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)更好地理解與掌握抽象的數(shù)學(xué)概念與知識(shí)，把抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)概念與知識(shí)應(yīng)用于新的情境。

案例3：《三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用》的教學(xué)片斷

圖 4

如圖4，設(shè)地球表面某地正午太陽(yáng)高度角為θ，δ為此時(shí)太陽(yáng)直射緯度，φ為該地的緯度值。當(dāng)?shù)叵陌肽軎娜≌担肽軎娜∝?fù)值。

如果在北京地區(qū)（緯度數(shù)約為北緯40°）的一幢高為h0的樓房北面蓋一新樓，要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？

問(wèn)題1 圖4中θ，δ，φ這三個(gè)角之間的關(guān)系是什么？

如圖4這三個(gè)量之間的關(guān)系是θ=90°-φ-δ（當(dāng)?shù)叵陌肽軎娜≌担肽軎娜∝?fù)值）。

問(wèn)題2 當(dāng)太陽(yáng)高度角為θ時(shí)，設(shè)高為h0的樓房在圖 5地面上的投影長(zhǎng)為h（如圖5），那么θ，h0，h三者滿(mǎn)足什么關(guān)系？

h0=htanθ。

問(wèn)題3 根據(jù)地理知識(shí)，北京地區(qū)一年中，正午太陽(yáng)直射什么緯度位置時(shí)，物體的影子最短或影子最長(zhǎng)？

太陽(yáng)直射北回歸線(xiàn)時(shí)物體的影子最短，直射南回歸線(xiàn)時(shí)物體的影子最長(zhǎng)。

問(wèn)題4 綜上分析，要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋，兩樓的距離不應(yīng)小于多少？

解 要使新樓一層正午的太陽(yáng)全年不被前面的樓房遮擋，應(yīng)取太陽(yáng)直射南回歸線(xiàn)的情況考慮，此時(shí)的太陽(yáng)直射緯度為-23°26′。

根據(jù)太陽(yáng)高度角的定義，有θ=90°-|40°-（-23°26′）|=26°34′，所以h=h0tanθ=h0tan26°34′≈2h0。

即在蓋樓時(shí)，為使樓不被前樓遮擋，要留出相當(dāng)于樓高兩倍的間距。

本題是研究樓高與樓在后地面的投影長(zhǎng)的關(guān)系問(wèn)題，是將實(shí)際問(wèn)題直接抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型，然后根據(jù)所得的模型解決問(wèn)題。

教材中涉及與實(shí)際生產(chǎn)生活聯(lián)系的內(nèi)容很多，數(shù)學(xué)應(yīng)用對(duì)教師的教學(xué)提出了新的挑戰(zhàn)，既要了解實(shí)際生產(chǎn)生活相關(guān)知識(shí)，又要與數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)的整合，根據(jù)學(xué)情設(shè)計(jì)教學(xué)方案。

總之，教師對(duì)教材理解的深度、整合駕馭教材的能力，直接影響教學(xué)設(shè)計(jì)的科學(xué)性，有效性，從而決定課堂教學(xué)是否高效。

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