淺談解析幾何中探究性教學(xué)

宋淮南

[摘要]課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)通過創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；讓學(xué)生進(jìn)行動手操作、實(shí)驗(yàn)，增強(qiáng)他們學(xué)習(xí)的主動性；適時將問題進(jìn)行拓展、延伸，培養(yǎng)學(xué)生的勇于探究的精神和創(chuàng)新能力。

[關(guān)鍵詞]探究；拓展；創(chuàng)新思維

數(shù)學(xué)探究是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。它有獨(dú)立發(fā)現(xiàn)、歸納類比、發(fā)明操作等方法。在這個過程中學(xué)生始終處于積極思考、主動探索、主動建構(gòu)的主體地位。但這又離不開教師事先所作的、精心的教學(xué)設(shè)計(jì)和在協(xié)作學(xué)習(xí)過程中畫龍點(diǎn)睛的引導(dǎo)，充分體現(xiàn)了教師引導(dǎo)作用與學(xué)生主體作用的結(jié)合，這對培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識，提高他們發(fā)現(xiàn)、提出、解決問題和實(shí)踐能力等方面都能發(fā)揮重大的作用。結(jié)合解析幾何的教學(xué)，淺談探究性教學(xué)的一些體會。

一、創(chuàng)設(shè)問題情景，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師。因此，教師應(yīng)不失時機(jī)地為學(xué)生營造“樂學(xué)、趣學(xué)”的環(huán)境。可通過精心設(shè)計(jì)教學(xué)，利用現(xiàn)代教育技術(shù)，在課堂上創(chuàng)設(shè)與主題相關(guān)的、盡可能真實(shí)的情境，讓學(xué)習(xí)者能利用自己已有的知識、經(jīng)驗(yàn)與方法，去分析和探索當(dāng)前的問題，建立起新舊知識之間聯(lián)系，并賦予新知識某種意義。

例如在橢圓的定義教學(xué)中，先復(fù)習(xí)圓的定義，再提出問題：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)的距離之和為一個常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？（注意與圓的定義的異同。）取一條細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的兩個定點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什么曲線？讓學(xué)生動手探究，教師僅作點(diǎn)撥、提示，探究出結(jié)果后再用《幾何畫板》進(jìn)行動畫演示，使學(xué)生從視覺上感受橢圓的形成過程。

接著提問：在這過程中，筆尖（動點(diǎn)）滿足怎樣的幾何條件？若|PF1|+|PF2|=2a，動點(diǎn)P的軌跡是什么圖形？若|PF1|+|PF2|<2a，存在這樣的動點(diǎn)P嗎？

這樣既激發(fā)了學(xué)生的探索欲，又讓其親身體驗(yàn)到橢圓上動點(diǎn)所滿足的幾何條件，加深了對知識的理解。

二、實(shí)驗(yàn)操作，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性

探究式課堂教學(xué)是否能取得實(shí)效，歸根到底是以學(xué)生是否參與、怎樣參與、參與多少來決定的。只有最大限度地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的潛能，讓學(xué)生主動參與教學(xué)，使學(xué)生充分體驗(yàn)和感受學(xué)習(xí)的過程，才能讓課堂充滿生機(jī)。因此，在課堂教學(xué)中，應(yīng)以學(xué)生自主探究活動為主線，盡可能多讓學(xué)生嘗試體驗(yàn)知識的形成過程，更多地經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理等學(xué)習(xí)與探索過程，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心與興趣。

當(dāng)學(xué)習(xí)橢圓的性質(zhì)中離心率時，問：為什么有的橢圓比較扁，有的比較圓？它的扁圓程度由什么決定？引導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作：取一條細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出一個橢圓，接著縮短（或拉長）兩定點(diǎn)之間的距離，畫出另一個橢圓。學(xué)生由探究后得出：因?yàn)槔K長固定，當(dāng)焦距縮短時，橢圓越圓；當(dāng)焦距伸長時，橢圓越扁。從而得到離心率是決定橢圓扁圓程度的量。

數(shù)學(xué)是和現(xiàn)實(shí)生活緊密地聯(lián)系在一起的，教師應(yīng)該對教材內(nèi)容做不同程度地處理，從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)和熟悉的生活情境出發(fā)，在教材內(nèi)容和學(xué)生求知心理之間創(chuàng)造新情境，把學(xué)生引入一種急待探究的狀態(tài)中去，充分發(fā)揮其主動性和創(chuàng)造性。

三、以問題為導(dǎo)向，提高學(xué)生探索欲

學(xué)生若要做到靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決相關(guān)問題，從而達(dá)到以不變應(yīng)萬變的目的，就必須在數(shù)學(xué)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識的拓展變化。可對一些命題，通過逆向思維求其逆命題；通過設(shè)常量為變量、引入?yún)⒘俊⑷趸驈?qiáng)化條件與結(jié)論等方法進(jìn)行橫向的拓寬和縱向的深入，揭示出它與某類問題的聯(lián)系與區(qū)別。這樣，我們通過“問題”引導(dǎo)，營造良好的課堂探討氛圍，更好地誘發(fā)學(xué)生探究的主動性，從而使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展及拓展變化過程，在解決相關(guān)問題時也就得心應(yīng)手。

例：斜率為2的直線經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長。

學(xué)生做法有方法1：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式求出線段的長；方法2：將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出兩點(diǎn)橫坐標(biāo)，再運(yùn)用拋物線定義求解。

接下來我們進(jìn)行了如下的探究過程：

問題1：能不能不求坐標(biāo)求出線段的長？

答：在方法2的基礎(chǔ)上由韋達(dá)定理可實(shí)現(xiàn)不解方程就能解決問題。

問題2：將斜率2改為k，求線段的長。

探究結(jié)果（1）過拋物線焦點(diǎn)的弦長公式；（2）得出直線與圓錐曲線相交所得弦長的公式。

拓展延伸：

問題1：求該拋物線上的點(diǎn)到直線y=2x+6的距離的最小值。

問題2：當(dāng)線段經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時，以AB為直徑的圓和拋物線的準(zhǔn)線位置關(guān)系怎樣？

問題3：斜率為2的直線被拋物線所截，求截得的線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程。

問題4：求該物線內(nèi)弦長為a（a>4）的動弦AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離的最小值。

問題是探究的源泉，通過這樣設(shè)計(jì)，將問題層層深入或拓展，學(xué)生的思維始終處于活躍、探索的狀態(tài)，不但掌握了相關(guān)的知識，規(guī)律與思想方法，探究意識也得到提高。

培養(yǎng)學(xué)生的探究意識和創(chuàng)新能力應(yīng)融入日常的課堂教學(xué)之中。教師應(yīng)事先進(jìn)行精心設(shè)計(jì)教學(xué)，創(chuàng)設(shè)良好的問題情景，增強(qiáng)學(xué)生的動手操作與試驗(yàn)，在探究的過程中，教師主要提問題，提好問題，并成為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者，引導(dǎo)者，參與者。注意處理好以下幾個關(guān)系：師生、生生之間的關(guān)系；知識和能力、課內(nèi)與課外的關(guān)系，應(yīng)注重讓學(xué)生學(xué)始終處于積極參與、合作、探究的狀態(tài)中，學(xué)生的各方面能力才能得到充分的發(fā)展。