意外探究，別樣精彩 意外探究，別樣精彩

蔡江華

曾經在一次高三模考中，出現了這樣一道向量題：已知點O是△ABC內部的一點，且3OA+5OB+2OC=0，求△AOB與△ABC的面積之比。當時這題的正確率很低，只有少部分學生會做。作為年輕教師的筆者也沒意識到這題的價值，課上只是讓那位會的學生進行了板演，老師稍做點評就結束了。估計學生也沒有留下太深的印象。后來無意中聽到一位老教師說關于這題有個結論。筆者當時想數學不是靠背公式，于是也沒去請教。

近日，筆者翻閱文獻[1]，無意中看到一篇文章，里面引例類似筆者之前遇到的題目。難道真的有更深刻的理解或是一般性的結論？帶著疑惑，筆者認真讀完了這篇文章。讀完后有種相見恨晚的感覺，也有些慚愧，后悔當初沒有認真請教。正巧最近一次考試中出現了類似題目，筆者決心這次一定不能錯過。

1。課堂展示

題目 已知點O是△ABC內部的一點，且OA+2OB+3OC=0，求△AOB與△ABC的面積之比。學生經過一番交流后板演了2種解法：

方法1：（利用系數特征）

OA+OC+2（OB+OC）=0，OA+OC=-2（OB+OC），取AC，BC的中點P，Q，則OP=-2OQ，∴O，P，Q三點共線，∴S△AOB∶S△ABC=1∶2。

方法2：（利用重心）設OM=OA，ON=2OB，OP=3OC，則OM+ON+OP=0，∴O為△MNP的重心，∴S△OMN=S△OMP=S△ONP，∵OA=OM，OB=12ON，OC=13OP，∴S△AOBS△MON=12OA·OBsin∠AOB12OM·ONsin∠AOB=12，∴S△AOB=12S△MON，同理：S△AOC=13S△MOP，S△BOC=16S△NOP，∴S△AOB∶S△AOC∶S△BOC=3∶2∶1，∴S△AOB∶S△ABC=1∶2。

點評完后，

師：2種方法哪個更好呢？

學生：方法一。

忽然學生甲舉手說：“要是系數不是那么巧，比如，把3改為4，方法一就不行。”筆者心中暗喜，這正是心里期待的提問。要是以前筆者估計不會繼續延伸，因為沒更深層次的知識儲備，但這次通過課外探究，已經對這題型有更深的理解，不怕“掛黑板”了。此時其他同學也冷靜下來，微微皺起眉頭，停頓片刻后，他們又活躍起來。

學生乙：方法二對系數沒有要求，是個通法。

其他同學也投來贊許的目光。

師：看來這道題可以推廣到一般情況。已知平面內一點O，且αOA+βOB+γOC=0，求S△BOC∶S△AOC∶S△AOB。以下是學生探討后板演的過程：設OM=αOA，ON=βOB，OP=γOC，則OM+ON+OP=0，∴O為△MNP的重心，∴S△OMN=S△OMP=S△ONP，∵OA=1αOM，OB=1βON，OC=1γOP，∴S△AOBS△MON=12OA·OBsin∠AOB12OM·ONsin∠AOB=1αβ，C∴S△AOB=1αβS△MON，同理：S△AOC=1αγS△MOP，S△BOC=1βγS△NOP，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=α∶β∶γ。師：如圖α，β，γ是正數，若出現負數，以上結論還成立嗎？

生：可以，若α為負數，此時∠MON與∠AOB互補，sin∠MON=sin∠AOB仍然成立。

師：很好，那我們把公式再優化一下。

生：已知平面內一點O，且αOA+βOB+γOC=0，則S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=α∶β∶γ。

師：該題型有什么特征？

生：條件中各向量共起點，且和為零向量，上面三角形的面積之比恰好為等式中它們所缺字母所在的向量的系數之比。至此，關于這道向量面積比問題已經完美解決，學生也留下了很深的印象。

2。教學反思

通過這道題的前后兩種課堂對比，筆者深刻體會到教研的重要性。筆者反思后總結出作為年輕教師搞好教學研究的幾種途徑。

（1）向身邊同事請教，牛頓曾說：“如果說我看的遠，那是因為我站在巨人的肩膀上。”我們身邊就有許多優秀的同事，不管在課堂教學還是解題方法上，他們都有很豐富的經驗。平時要多聽他們的課。聽課是年輕教師快速提高自己課堂教學水平，促進自身專業發展的重要途徑。

（2）積極參加交流研討活動，各級各類教學研討課，都是執教者或執教者所在的一個集體的智慧的結晶。教師由于平時忙于教學，不知道外面同行在用怎樣的思路工作。因此，教師進行交流取長補短，查漏補缺，能促進年輕教師的學習成長，提高教學質量。

（3）多讀書，你所讀的所有東西都會給你的大腦帶來新的信息，而你永遠無法知道什么時候它們就會派上用場。你掌握的知識越多，對于獎勵所面對的挑戰，你就準備的越充分。比如這次面對同樣的題型，筆者從容應對，漂亮收尾，都源于課后不經意的閱讀。

（4）多傾學生的聲音，我們常常強調學生要尊重老師，卻往往忽視了學生的主體地位。愛因斯坦曾說過：“提出一個問題，往往比解決一個問題更重要。”解決問題只是一個技能而已，而提出一個新問題，卻需要有創新性的能力，這才是一個人思維能力的最佳表現。所以課堂上不要壓抑了學生的思維，應鼓勵學生大膽質疑。學生的問題，也許正是教師所忽視的地方。作為數學老師，學生提出的某些問題一時答不上來，是很正常的現象。這就需要我們加強學習，努力提高專業水平。

[參考文獻]

[1]陸學政。從教材中尋找思維的源泉。中學數學教學參考：上旬，2014（7）：68-70。

[2]馬曉東。一類面積比的簡潔計算公式。中學數學教學參考：上旬，2014（3）：31-32。