滲透數學文化，上好第一節微積分課

馮文俊　王俊新

[摘要]滲透數學文化，使學生對《微積分》課程有宏觀認識和總體把握，充分認識到《微積分》課程的重要性，了解《微積分》課程的美，從而喜歡這門課程并對學習這門課程充滿信心。

[關鍵詞]數學文化；總體把握；重要性；美

[中圖分類號]G64 [文獻標識碼]A

[資助項目]山西財經大學2011年教育教學改革研究項目（項目編號：2011131）

學生從小學到大學學習了多年的數學，普遍認為數學課程難且枯燥乏味，對數學課程的學習沒有總體認識和宏觀把握，沒有足夠的信心，感受不到數學課程的重要性和美。基于學生在高中階段對《微積分》課程已有初步的了解，在大學上第一節《微積分》課程時，充分滲透數學文化，使學生對《微積分》課程有宏觀認識和總體把握，充分認識到《微積分》課程的重要性及《微積分》課程的美，從而喜歡這門課程并對學習這門課程充滿信心。

一、滲透數學文化，了解《微積分》課程誕生的歷史，使學生對《微積分》課程有宏觀認識和總體把握

1。《微積分》課程第一至四章的來源

在上大學第一節《微積分》課程時，先講《微積分》課程誕生的歷史。牛頓的微積分是一項劃時代的科學成就，蘊含著巨大的智慧和創新，但也有邏輯上的問題。牛頓當時是用如下方法計算自由落體在某一時刻的瞬時速度：

設自由落體在t0時間內下落的位移為S（t0），位移公式為S（t0）=12gt02，其中g是重力加速度。當時，根據科學的發展，需要計算物體在t0時刻的瞬時速度，牛頓的計算方法為，從t0時刻開始再下落Δt時間，欲求物體在t0時刻的瞬時速度，先求物體在Δt時間內的平均速度ΔSΔt，ΔSΔt=12g（t0+Δt）2-12gt20Δt=gt0+12g·Δt（ * ）

牛頓認為，物體在t0時刻的瞬時速度即當Δt變成無窮小時Δt時間內的平均速度。所以，當Δt變成無窮小時，右端的12g·Δt也變成無窮小，因而上式右端就可以把12g·Δt這一項去掉而只剩下gt0，即物體在t0時刻的瞬時速度為gt0。

當講到這里時，提問學生這個推理過程嚴密嗎？學生指出，如果Δt是0，上式（ * ）左端把Δt作為分母沒有意義。如果Δt不是0，把上式（ * ）右端12g·Δt這一項隨便去掉是不對的。然后我告訴學生，當初可能因為牛頓本身是一位偉人，而且牛頓的這一方法確實很好用，解決了大量的過去無法解決的科技問題，包括像海王星的發現這樣鼓舞人心的例子，更顯示出牛頓的理論和方法的巨大威力，所以沒有人提出質疑。后來牛頓學派外部英國大主教貝克萊就“牛頓的無窮小作為一個量究竟是不是0”提出質疑，產生了歷史上第二次數學危機。當初牛頓及其擁護者奮起與貝克萊論戰，但是在將近200年的時間里，不能徹底反駁貝克萊的責難。而且，隨著時間的推移及研究范圍的不斷擴大，類似的悖論日益增多。包括數學家在研究無窮級數的時候，也是在有限與無限之間任意通行，作出過大量錯誤的證明，得出許多錯誤的結論。

數學的發展，要求微積分的基礎“極限理論”誕生。19世紀，經過以法國數學家柯西為代表的一批數學家艱辛的努力，極限理論終于誕生了，再加之維爾斯特拉斯建立了實數系，嚴格的極限理論才算真正建立。

嚴格的極限理論建立之后，自由落體在t0時刻的瞬時速度計算方法如下： limΔt→0ΔSΔt=limΔt→012g（t0+Δt）2-12gt02Δt=limΔt→0（gt0+12g·Δt）=limΔt→0gt0+limΔt→012g·Δt=gt0，這實際上就是函數S（t）=12gt2在t0這一點的導數，這才徹底解決了貝克萊的責難，從根本上消除了歷史上第二次數學危機。實際上，嚴格的極限理論建立之后，對無窮小量Δt與0的關系給出明確的回答。雖然這個結果與牛頓當初計算的結果相同，但是每一步推理過程都有嚴格的邏輯基礎。

縱觀微積分誕生的歷史，我們可以看出，微積分基礎建立的歷史順序為：導數與微分（教材第三章）→極限與連續（教材第二章）→函數（教材第一章）（教材第一章在實數基礎上講解函數及其一些性質），邏輯順序與歷史順序正好相反。

2。《微積分》課程第五至六章的來源

如右圖，為了計算由x軸、直線x=a，x=b及曲線y=f（x）圍成的不規則圖形的面積，在區間[a，b]中任意插入n-1個分點，a=x0

為了簡單起見，把這個極限值記為∫baf（x）dx，即∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi，

稱為函數f（x）在閉區間[a，b]上的定積分（教材第六章）。17世紀后期，牛頓和萊布尼茲幾乎是同時發現著名的微積分基本定理——牛頓-萊布尼茲公式，即如果F′（x）=f（x），則∫baf（x）dx=F（a）-F（b）。所以，要計算∫baf（x）dx的值，需先知道那個函數的導數等于f（x），即f（x）的不定積分（教材第五章）。邏輯順序與歷史順序也正好相反。

3。《微積分》課程第七至十一章的來源

第七章多元函數微分學是第一至四章一元函數到多元函數的推廣。第八章二重積分是第五至六章的推廣。第九章無窮級數是第二章的特殊情形。無窮級數是數列的和，第九章主要講解幾種特殊無窮級數的斂散性（即極限值的存在性）及收斂級數極限值的計算。第十章微分方程是第六章的推廣。在第五章中，若已知dydx=x，我們可以求出y=12x2+C，其中C為任意常數。但是如果已知dydx=xy，我們通過第五章的學習就不會求出y的值。形如dydx=xy含有自變量x、未知函數y以及未知函數的導數dydx（或微分）的等式，稱為微分方程。第十一章差分方程是以第十章為工具，以此研究離散數學模型。

在大學上第一節《微積分》課程時，通過對《微積分》課程誕生的歷史的學習，使學生對《微積分》課程各章之間的關系及整本書的內容有宏觀的認識和總體把握。

二、滲透數學文化，了解數學及《微積分》課程的重要性

（一）滲透數學文化，了解數學的重要性

馬克思曾經說過，“一門科學只有成功地運用了數學時，才算達到了真正完善的地步（見拉法格的回憶錄）；華羅庚先生也說過，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數學無處不在；”2000年是聯合國宣布的“世界數學年”，聯合國教科文組織指出：“純粹數學與應用數學是理解世界及其發展的一把主要鑰匙”；現在有人說：“哲學從一門學科中退出，意味著這門學科的建立；而數學進入一門學科，就意味著這門學科的成熟。”數學與文學、史學、哲學、經濟學、社會學、密碼學及工程技術等都有密不可分的聯系；諾貝爾經濟學獎獲得者中，數學家或有研究數學的經歷的經濟學家占了一半以上；牛頓發現了萬有引力定律，他把其最重要的著作命名為《自然哲學的數學原理》，是因為他發現新宇宙的思維方式是數學的思維方式。在這本書中，牛頓用了大量“微積分”的知識和非常復雜的幾何知識與技巧；愛因斯坦分別于1905年和1915年提出狹義相對論，廣義相對論，這是對物理學的重大變革，其核心內容是時空觀的改變。愛因斯坦的時空觀認為時間和空間是相互聯系的。四維空間的洛侖茲變換是數學模型的表現形式；英國物理學家麥克斯韋概括了由實驗建立起來的電磁現象規律，把這些規律表述為“方程的形式”，用純粹數學的方法推導出可能存在著電磁波并且這些電磁波 應該以光速傳播者；最近，兩位美國數學家解開了一個困擾科學界長達50年的“簡單”問題：啤酒泡和肥皂泡在膨脹、收縮及合并時的數學規律。該研究成果將對工程學的泡沫材料設計、生物學的組織結構研究以及物理學的晶體顆粒排列探測產生深遠的影響，相關論文發表在2007年4月26日的《自然》雜志上。其中，氣泡脹大、收縮或者合并，背后的驅動力都是表面張力，氣泡的變化，取決于表面總曲率；神州六號、七號、八號、九號的升空，宣告了我國具有制造和發射航天飛機的能力。在神舟六、七、八號、九號的研制過程中，數學起了不可替代了作用，尤其是在軌道測算，時間測算等方面；1973年，美國芝加哥大學學者F·布萊克與M·肖萊斯提出了布萊克-肖萊斯期權定價模型（blackscholes option pricing model），對股票期權的定價作了詳細的討論。此后，不少學者（Merton）又對該模型進行了修正、發展與推廣，極大地推動了期權定價理論的研究。該模型中用到很多數學知識。他們也因此獲得了1997年的Nobel經濟學獎；從醫學上的CT技術到印刷排版的自動化，從飛行器的模擬設計到指紋的識別，從石油地震勘探的數據處理到信息安全技術，還有天王星、海王星的發現等等，這些形形色色的技術背后，數學都扮演著十分重要的角色，常常成為解決問題的關鍵。以上例子足以說明數學學科的重要性。

（二）數學文化在數學學習中的重要性

2002年，在北京召開的由國際數學聯盟主辦的全球數學界最高水平的學術會議“國際數學家大會”會場的大幅標語為“傳播數學文化，立志報國奉獻”，其中使用了“數學文化”一詞；2003年，普通高中《數學課程標準》中指出，數學是人類文化的重要組成部分，數學是人類社會進步的產物，也是推動社會發展的動力。要求在高中數學的教學過程中充分滲透數學文化，體現人文精神。這也是 “數學文化”首次進入官方文件；十二五《國家中長期教育改革和發展規劃綱要》中提到，要把育人為本作為教育工作的根本要求，要培養學生良好的審美情趣和人文素養，加強中華民族優秀文化傳統教育。積極推進文化傳播，弘揚優秀傳統文化，發展先進文化。這充分說明數學及傳播數學文化的重要性。

（三）學習《微積分》課程對大學后續課程學習的重要性

1。微積分第一章為函數。微觀經濟學中的常見函數有需求函數、供給函數、成本函數、收入函數、利潤函數、彈性函數、生產函數以及邊際函數等都是微積分中函數的范疇。

2。邊際分析方法是經濟理論中的一個重要分析方法。通過學習微積分中的導數，可以對微觀經濟學中的經濟變量進行邊際分析。

3。通過微積分中函數極值的學習，研究微觀經濟學中生產者利潤最大化問題。

4。數學已經廣泛深入到經濟學領域。

古希臘的普羅塔戈爾說過：“頭腦不是要被填滿的容器，而是一把需被點燃的火把”。所以，在《微積分》課程的教學過程中，創造性地使用教材，在遵循教學大綱的前提下，充分滲透數學文化，使學生在學習數學的過程中真正受到數學文化感染，產生文化共鳴，體會數學的文化品位，使學生真正感受到學習數學的重要性以及滲透數學文化的重要性，并真正感受到數學的美，并對學習數學充滿信心。只要我們揭開數學神秘的面紗，作為人們在生產實踐中必不可少的數學必將成為受青睞的學科。