《釘子板上的多邊形》教學實錄

張超

【教學內容】

蘇教版義務教育教科書《數學》五年級上冊第108～109頁。

【教學目標】

1.讓學生在操作、觀察、猜測、驗證等活動中，發現在釘子板上圍出的多邊形與它的邊所經過的釘子數，以及多邊形內部釘子數的關系，會用含有字母的式子表示發現的規律。

2.讓學生在探索規律、發現規律和表達規律的過程中，進一步感受數學抽象的意義，培養比較、分析和簡單推理的能力，增強發現問題、提出問題的意識，積累數學活動經驗。

【教學重點】

探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數、內部釘子數之間的關系。

【教學難點】

綜合和歸納多邊形的面積與多邊形上釘子數、內部釘子數之間的關系。

【教學準備】

學生準備釘子板、橡皮筋，教師準備課件、研究單等。

【教學過程】

一、引入問題，揭示課題

師：同學們，你們喜歡做游戲嗎？（喜歡）今天的數學學習就讓我們從游戲開始。

瞧，這是什么？（課件出示釘子板圖）

生：釘子板。

師：用釘子板可以做什么呢？

生：可以在釘子板上圍圖形。

師：好，現在請大家在自己的釘子板上圍出一個自己喜歡的多邊形。（學生自主圍一圍）誰來給我們展示一下：你圍出的是什么樣的多邊形？

生1：我圍出的是個直角三角形。

師：如果相鄰的兩個釘子之間的距離是1 cm，你能算出：圍出的這個多邊形的面積是多少嗎？

生1：根據三角形的面積公式算出它的面積是4 cm2。

師：請你再數一數：你圍出的這個多邊形的邊上有多少枚釘子？

生1：8枚。

師：誰能像這樣完整地說一說？好，請你來。

生2：我圍出的是個直角梯形，它的面積是6 cm2，邊上有10枚釘子。

……

小結：剛才，同學們都各自圍出了一個多邊形，從剛才三位同學的匯報中，我們發現：他們圍出的圖形各不相同，它們的面積和所圍出多邊形邊上的釘子數也不同。多邊形的面積似乎與它邊上的釘子數存在著一定的關系，那么，到底有著怎樣的關系呢？今天這節課，我們就一起來研究《釘子板上的多邊形》（板書課題）。

二、分層探索，發現規律

（一）引導嘗試，初步感知

1.出示下圖，引導學生觀察

師：剛才看到同學們在釘子板上都圍出了自己喜歡的多邊形，我也忍不住動手圍出了幾個多邊形，并把它們拍了下來。（課件出示圖形）

師：請你們幫我看看：這些多邊形的面積各是多少平方厘米？每個多邊形邊上的釘子各有多少枚？先數一數、算一算，再與同學說說你的想法。（生數、算、說，師巡視。）

2.匯報交流，完成表格

師：有想法了嗎？它們的面積分別是多少呢？（指名說，隨著學生的回答，完成表格。）現在我們一起來數一數每個多邊形邊上的釘子數分別有多少枚？（學生隨著課件動態閃爍一起數）

3.觀察數據，比較發現

師：請同學們仔細觀察這張表格，你們能發現什么？把你的發現先和你的同桌說一說。（同桌互說）

師：誰愿意和大家分享一下你的發現？（指名說）

生1：我發現多邊形邊上的釘子數是多邊形的面積的2倍。

師：嗯，請坐。你說。

生2：我發現多邊形的面積是多邊形邊上釘子數的一半。

師：是嗎？請你說。

生3：我也發現多邊形的面積是多邊形邊上釘子數的一半，我還發現這些多邊形有個共同的地方：多邊形里面都有一枚釘子。

師：說得真好，請大家把掌聲送給他……

師：好，誰來說說你的想法？（指名說）隨著學生的回答，板書：a=1，S=n÷2。

小結：剛才，同學們通過觀察、填表、分析數據，找出了多邊形內有1枚釘子時，多邊形的面積與釘子數的關系。真的很了不起！

（二）深入探究，尋找規律

1.提出問題，引發思考

師：請你們想一想：如果多邊形內有2枚釘子時，多邊形的面積與多邊形邊上的釘子數又有著什么關系呢？請大家分組合作探究。

2.小組合作，探究規律。

（1）課件出示合作要求，并指名一學生讀一讀。

（2）分組探究，師行間巡視。

3.匯報交流，發現規律。

得出結論：a=2，S=n÷2+1。

師：同學們，真的很棒！大家在組長的帶領下通力合作、自主探究，發現了規律。讓我們把掌聲送給自己，祝賀我們了不起的發現！

（三）引導猜想，概括規律

1.引發猜想

師：通過剛才的研究，我們發現：當多邊形內釘子數a=1，S=n÷2；a=2，S=n÷2+1。請你們聯系這里的規律猜一猜：如果多邊形內有3枚釘子時，它的面積與多邊形邊上的釘子數又有怎樣的關系呢？先把你的想法和你的同桌說一說。

……

2.畫圖驗證

3.匯報交流

師：通過舉例驗證，我們發現：當多邊形內有3枚釘子時，多邊形的面積S=n÷2+2。（擦去板書中的“？”）

4.得出結論

師：同學們，請大家觀察黑板上的關系式，你們能發現什么？如果a=4，面積與釘子數會是什么關系？a=5呢？當a=m呢？（指名說）隨著學生的回答，完成板書：S=n÷2+m-1。

仔細觀察黑板上的這些關系式，你們能發現什么？你能用一個表達式概括出釘子板上多邊形的面積與釘子數的關系嗎？（指名說）板書：S=n÷2+a-1。同學們，很聰明！……課后，請大家畫圖驗證規律。

5.拓展延伸

師：其實，我們今天研究的規律是歷史上著名的“格點面積”：我國數學家閔嗣鶴曾寫過這方面的一本著作叫做《格點和面積》，也是數學史上著名的皮克定理，有興趣的、想進一步了解的同學可以上網查找相關資料閱讀。

三、總結回顧，交流體會

師：回顧剛才探索和發現規律的過程，你有什么體會和收獲？（指名說）

小結：在數學學習活動中，我們體驗到了“數學好玩”，在今后的學習中，希望大家能“玩好數學”。

編輯 段麗君