談兒童數學教育視角下的“運算能力”培養

于萍

【摘 要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》中將“運算能力”作為十大核心概念提出，由此引發了數學教學中關于計算教學的新討論。基于兒童數學教育視角下的“運算能力”培養，就是要將兒童的全面且富有個性的發展作為目標，遵循兒童的認知與發展規律落實能力培養。通過以小數的四則運算教學為例，提出發展兒童運算能力首先要調動經驗，幫助其“找感覺”，然后借助直觀“找方法”，最后溝通聯系，促進兒童有所提升。這樣基于兒童的運算教學目標，才能有效得以實現。

【關鍵詞】兒童數學 運算能力 小數運算

“運算能力”是針對計算教學提出的。以前基礎教育階段的數學教學非常注重“雙基”，其中關于計算的“基本技能”就是很重要的內容。《義務教育數學課程標準（2011年版）》的要求從“雙基”變為“四基”，這對計算教學也提出了新要求。從“計算技能”的教學到“運算能力”的培養，需要教師從理念到實踐都有所改變。在小學階段，運算教學所涉及的內容非常豐富，主要包括整數、小數和分數的運算，本文僅以“小數運算”的相關教學內容為例進行闡述。

一、基于兒童的運算教學目標分析

在我國近百年來的小學數學教學中，計算一直是重要的學習內容。隨著數學教育的發展與改革，計算教學的內容有增減過，熟練程度的要求也在不斷變化。從1978年起提出刪減“過繁計算”，2001年的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》提出 “應重視口算，加強估算，提倡（鼓勵）算法多樣化”，并強調“避免將運算與應用割裂開來”。十年后，《義務教育數學課程標準（2011年版）》增加了核心概念“運算能力”，主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力，培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。無疑地，基本運算以其實用價值性和基礎價值性，使其始終成為非常重要的教學內容。然而對運算教育價值的不同詮釋也帶來了不同時期對運算教學的目標要求。

很顯然，“運算能力”的提出更強調學生要在學習運算的過程中經歷理解算理、探尋算法的過程，因為只有學生真正理解了，才可能達到以合理、簡潔的運算解決問題的目標。教師對運算教學的設計應充分考慮兒童的認知經驗和學習需求，不以技能的掌握作為唯一目標，而是既要注重引導學生掌握運算方法，形成技能，更要在感受算理、建立聯系的過程中發展思維，提升能力，幫助學生收獲快樂的數學學習體驗。教師還應注意在運算速度以及正確率方面準確把握要求，不能過高或過低地要求學生，也不要以結果性指標過早地在教學過程中用來監控所有學生。

二、基于兒童的運算能力發展策略

基于對兒童數學教育的實踐研究，圍繞兒童學習的基礎、需求和認知規律提出以下幾方面發展學生運算能力的教學策略。

（一）調動經驗：幫助兒童“有感覺”

兒童的數學學習是與生活緊密聯系的，基于生活經驗的學習是更利于學生理解和接受的。因此那些來自生活的問題或實例不僅有利于學生感受運算的價值，更有助于學生深入地分析和理解運算本身。

1.“舉例子”帶來的豁然開朗。

在計算教學中，對算法的探尋和對算理的解析是教學重點，常常也是教學的難點所在。教師可以用“舉例子”的方法引導學生調動已有的認知經驗，進而理解新知識。例如，在“小數加減法”教學中，教師引導學生自主編題，于是出現了“0.8+3.74=”，對此題的分析是揭示“小數點對齊”這一算法的好時機。但為了讓學生有機會調動已有的整數加減法的認知經驗，經歷判斷、推理、抽象的思維過程，教師先讓每個學生自己試做，并說明自己這樣做的道理。

師：你們以前做過很多加減法題，無一例外的都是把末位的兩個數字對齊，可這道題為什么不末位對齊呢？

生：整數的末位是個位，末位對齊也就是個位對齊了。而小數的末位不一定是相同的，所以不能末位對齊。把小數點對齊，也就是相同數位對齊。如果不把小數點對齊，而把末位對齊的話，十分位的8就和百分位的4對齊了，相加之后肯定就不對了。舉個例子說吧，比如買兩樣東西，一個是0.8元，另一個是3.74元，如果把末位的8和4相加，就是用8角加4分，那肯定不對了。即便得到12，既不是12角，也不是12分。

教師應充分肯定學生“舉例子”的好方法，雖然是簡單的方法，但卻揭示了深奧的道理，讓大家豁然開朗。看似和整數加減法不太一樣的“小數點對齊”其實和“末位對齊”一樣，都是為了確保“相同數位對齊”，而相同數位對齊背后的道理就是“相同計數單位的個數直接相加減”。對算理的深入分析有助于學生更牢固地掌握算法，并為在多種算法間建立聯系奠定基礎。

2.“估一估”引發的反思調整。

許多教師在教學中都會感到，學生在進行小數運算時錯例會明顯增加，有時是失之毫厘，有時卻是差之千里。而學生面對這些錯例常常是“毫不察覺”，究其原因，一方面是因為小數比整數更復雜，學生對小數運算更不容易“有準確的感覺”，小數乘、除法更為顯著；另一方面是學生對小數運算的意義理解不深入，對結果缺少預估（或預判）的意識。這就需要教師為學生創造機會感受“先估后算”的價值。例如在進行“除數是整數的小數除法”教學時，當出現“22.4÷4=”后，教師不急于引導學生探究算法，而是先引導學生“估一估”結果會在哪兩個整數之間。

生：20÷4=5、24÷4=6，因此22.4÷4的結果一定比5大且比6小，應該是5點多。

在此基礎上，教師進一步引導學生計算和分析，進而分析算理，探尋算法，同時也驗證“估”的結果。

有了“估一估”的第一印象，學生能夠對一個小數除法的計算結果有個初步的、粗略的判斷，這將有助于學生獲得更準確的結果。在小數運算中，小數點的處理是難點之一，而“估一估”的方法可以有效幫助學生主動調整因點錯小數點而出現“差之千里”的情況。因此，強化“先估后算”帶來的反思與調整，不僅僅是學生掌握算法的有效策略，更是學生不斷豐富運算策略，提升運算能力的抓手。正如林崇德教授指出的那樣，兒童的數學概念和運算能力，就是通過他們認知活動的實踐，不斷發現和解決這種矛盾，從而逐步發展起來的。

（二）借助直觀模型：引導兒童“找方法”

直觀模型指的是具有一定結構的操作材料和直觀材料，如小棒、計數器、長方形、數直線等。在計算教學中，直觀模型是幫助學生理解算理、掌握算法的重要方式。這一點基本可以貫穿小學階段的所有運算教學。

1.借助直觀模型，探究算理。

在計算教學中，算理比算法更“隱蔽”、更抽象，學生要分析算理就需要對算法做出解釋，這通常需要一個情境使算理得以外顯。學生在認數過程中所借助的直觀模型就可以發揮重要的作用。例如在認識小數時，教材中提供了正方形、數線等直觀模型（如下圖1所示），學生能夠將直觀圖形與小數建立起緊密的聯系。

在進行小數加減法運算教學時，就可以借助直觀圖進行算理分析，理解相同計數單位的數才能夠直接相加減（如圖2）。

在進行小數乘法的運算教學時，還可以繼續借助直觀圖幫助學生理解計數單位的累加過程（如圖3）。類似地，在小數除法的教學中，可以借助圖清晰地呈現計數單位與計數單位的個數，以及平均分的過程（如圖4）。

這些直觀圖的使用具有一致性和連續性，有助于學生在認識小數的基礎上，自主遷移經驗，探究小數運算的方法和道理。讓“看得見”的圖形來幫忙，是兒童學習數學的心理需求，也是實現有效學習的重要規律。

2.借助直觀模型，鞏固算法。

除了在探尋理解算理、歸納運算方法的過程中，教師要注重發揮直觀模型的作用，在鞏固算法的練習中也值得不斷借助直觀模型，幫助學生深化認識、提升能力。例如在“小數加減法”一課的練習環節中，教師在學生已經初步掌握小數加減法豎式運算方法的基礎上，設計了“小卡車該停在哪兒”的活動，通過直觀的動畫演示，幫助學生強化對運算方法的掌握，以及對算理的理解。

師：豎式中的被減數已經寫好了，減數放在了小卡車上，卡車停在哪兒合適呢？

（課件出示：卡車自右向左行駛）

師：停在這里行不行？

生：不行，因為小數點沒有對齊。車得繼續往前開，直到小數點對齊。

師：載著第二個加數的小卡車已經準備出發了。

師：咦，怎么沒停？卡車司機有問題：“12沒小數點，怎么對齊呀？”

課件根據學生要求進行動態演示，直至小數點對齊。

生：這下可以計算了，結果等于12.43。

形象的動畫演示支撐了學生對計算方法的直觀理解和辨析，進而有效促進了學生對運算方法的掌握。總之，在運算教學中，充分發揮直觀模型的作用，有助于學生更加直觀地理解運算道理，更準確地掌握運算方法，并在理解的基礎上更靈活地解決問題。

（三）溝通聯系：促進兒童“有提升”

在小學數學教學中，數的運算通常是分在不同冊、不同單元中進行的。例如四年級下冊學習“小數加減法”單元，五年級上冊分別學習“小數乘法”及“小數除法”兩個單元。這樣的安排，必然使得學生在一段時間內相對集中地面對同一種（或一類）運算。然而，運算能力的培養只依靠不同方法的“分頭操練”是不夠的，還需要適時地將這些不同的方法“集結盤點”，以建立聯系，達到融會貫通的目的。

1.溝通概念，建立知識網。

不同的運算有不同的方法，學生學習每種運算時都是分別進行的，然而不同的運算背后是否有相同的道理呢？在對比中強化算理，有助于提升學生運算能力。例如在學生已經熟練掌握小數乘法計算方法后的一節“小數乘法練習課”上，教師設計了兩次對比的辨析活動。

第一次對比：小數乘法計算方法中兩步的對比

師：請你計算0.12×3.4=，并說一說你是怎樣算的。

生：小數乘法就是先按整數乘法算出積（12×34=），再給積添上小數點（從右數出3位）。

師：看來，小數乘法在算的時候都會有個整數乘法做“隱形替身”，那同一個整數乘法都能給哪些不同的小數乘法做“替身”呢？它們的運算結果有什么相同，又有什么不同？

生舉例：0.12×3.4=，0.12×0.34=，12×0.34= ……

分析：這些小數乘法都是由一個替身算出來的，結果也都可以根據408變化而來，但又不完全相同。它們計數單位的個數是相同的，都表示408個“什么什么……”但它們的計數單位不同，有的表示408個0.1，有的表示408個0.01，還有的表示408個0.001……

師：由此可知，小數乘法的計算方法中第一步“先按整數乘法算出積”，其實算出了乘積包含計數單位的個數，而第二步“再給積添上小數點”就是在確定積的計數單位。

第二次對比：小數乘法與整數乘法的對比

師：這個整數乘法除了可以做小數乘法的“替身”，在整數乘法中，是否還可以發揮“替身”的作用呢？

生：尾數帶0的乘法吧，因數末尾有0的乘法，我們通常就先不看末尾的0，算完之后再添0。例如120×3400=，我們通常都不用“末尾對齊”的方法一層一層地算，這樣太麻煩了。可以先將因數末尾的0“甩出去”不看，算完之后再添上。

出示：

師：同學們都更欣賞第二種算法，很顯然它更簡潔，但這樣算的道理是什么呢？

學生結合實例展開分析發現：當我們將120×3400看作“12×34”這個“替身”的時候，“先不看因數末尾的0”其實就是改變了因數的計數單位，只算12×34得到的408是乘積計數單位的個數。至于乘積應該是408個什么？那還得看因數的計數單位：10×100=1000，所以乘積應該是408個1000，就要在408的后面添上三個0。

這樣的小數乘法練習，幫助學生在初步掌握算法的基礎上不斷深化認識，在對比中溝通聯系，挖掘核心概念，在“回頭看”的活動中構建知識網。這個知識網的獲得離不開學生對核心概念的深入理解和靈活運用，這本身就是運算能力發展的重要標志。

2.溝通運算，建立方法網。

整數、小數和分數的運算法則通常是不同的，教學時也是分別進行的。因此，常常留給學生的印象也是“獨立的”“不同的”和“不能混淆的”。其實，看似不同方法的背后卻都藏著相通之處，值得學生去發現和感悟。例如在教學“小數除法”時，教師設計了兩次平均分的活動：第一次是將7支鋼筆平均分給2人，怎么分？用算式表示。學生列式是7÷2=3……1。第二次是將7元錢平均分給2人，怎么分？用算式表示。學生想到將7元錢平均分給2人，每人可以先分到3元，剩下的1元換成10角，每人就可以得到3元5角，也就是3.5元。算式是7÷2=3.5。于是產生了都是7÷2，為什么商卻不同？學生發現分鋼筆，剩下1支就不能再分了；分錢，剩下的1元可以換成10角繼續分。

在接下來學生自主探究“11÷4=”時，先以“1”為單位分有剩余，化小計數單位繼續分，這種讓余數“變得更碎”的方法，其實是在變小余數的單位。計數單位小了，計數單位的個數就增多了，就可以繼續平均分了。以“0.1”為單位分又有剩余，那就繼續化小計數單位接著分。此時，便有學生在思考，如果分的結果總是有剩余，總也分不完怎么辦？其實，他已經預見了循環小數的出現。這樣的對比活動，有效地建立起了整數除法與小數除法之間的聯系，學生在整數除法中從高位除起，即先平均分較大的計數單位的個數，分后有剩余就化小計數單位與低一位的數合起來繼續分，分了還有剩余就繼續化小計數單位接著分……直到分到以“1”為單位，即分到個位為止，即便有剩余也不再分了，就當作余數“留在那里”。而小數除法只是接過了整數除法的“接力棒”，打破個位的局限，繼續化小計數單位接著分下去而已。看似不同的整數除法與小數除法竟然是一回事兒，方法與方法對接，在兒童的心中織起了一張富含聯系的“方法網”。

這是一個將算理與算法相融合的教學過程，學生始終借助對平均分的認識以及對數概念的理解進行嘗試和探索，進而慢慢感悟、發現計算方法。這種通過溝通建立起的“方法網”，有助于學生更充分地理解算理，并抽象出算法。

三、基于兒童運算能力培養的教學建議

著眼于對學生運算能力的培養，首先需要教師對教學內容有結構性的認識，把握其深層次的內在關系，其次需要教師在計算教學中處理好以下幾組關系。

（一）注重“算理”與“算法”的貫通

運算教學從低年級就開始了，算理的分析與算法的掌握伴隨運算教學始終，兩者總是交錯進行、相互促進的。因此，無論是哪個學段的教學都應注重算理與算法的縱向貫通，使每部分的學習都與學生已有的認知經驗對接。這有助于幫助學生對運算形成貫通式的理解，這是形成運算能力的重要途徑。

（二）注重“概念”與“運算”的聯系

數的運算隸屬于“數與代數”領域，它與數的認識緊密聯系。學習數概念時，應突出對計數單位、十進位值制等核心概念的深入領會，這是使學生更順利地進行運算學習的堅實基礎。

（三）注重“新課”與“練習”的并重

運算能力的獲得不可能一蹴而就，需要在學習過程中循序漸進，不斷感悟，不斷提升。教學某種運算方法的新授課，必然承載著培養學生運算能力的重要任務，此外，與運算相關的練習課也是培養學生運算能力的重要契機，不容忽視，需教師精心設計。“算理不能只是第一節課前半段的事情，要在初懂算理的基礎上得出規范的計算程序，以后再懂其道理，乃是正常認知過程。”

（四）注重“短期目標”與“長期目標”的對接

數學知識是一個充滿了聯系的系統，運算教學亦是如此。因此，教師在進行每個具體運算內容的教學時，心中既要有“短期目標”也要有“長期目標”。具體包括課時目標和單元目標的對接、單元目標和運算領域總目標之間的對接，還包括知識目標與能力目標的對接……當然，教學中總會出現學生個體與群體之間的差異，這就需要教師一方面在運算的難度和速度方面提出合理而適度的要求，同時還應在總目標下為學困生留有發展的空間，允許他們在一段時間內慢慢趕上大家，不讓運算成為兒童數學學習的“絆腳石”，讓兒童在運算中都獲得成功的喜悅，這也是實現知識“短目標”與育人“長目標”之間的有效對接。

總之，在兒童形成數學概念和掌握運算法則的過程中，各種認知系統發生著復雜的相互作用。需要教師深入分析學生的認知規律與需求，準確把握知識結構，創造性地設計充滿聯系的教學內容，兒童將會在運算的世界中感受到思維的樂趣，收獲成功的喜悅。

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（北京小學 102400）