數學思想讓根的判別式更別樣

朱曉勤

摘要：《數學課程標準》明確指出，作為促進學生全面發展的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面不可替代的作用。在教學中，不僅重視知識形成過程，還應十分重視發掘在數學知識的發生、形成和發展過程中所蘊藏的重要思想方法。美國教育家布魯納曾說“不管他們將來從事什么業務工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數學的精神、數學的思維方法、研究方法，卻隨時隨地發生作用，使他們受益終生。”因此，在課堂教學中，教師應不失時機地對學生進行思想方法的滲透。現以根的判別式的復習課為例進行闡述。

關鍵詞：數學思想；根的判別式；學生

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）03-0092

一、化歸轉化思想的滲透

化歸思想既是在解決問題的過程中，對問題進行轉化，使之成為簡單、熟悉的問題的基本解題模式，其核心就是將有待解決的問題轉為已有明確解決程序的問題，以便利用已有的理論技術加以處理。

例1. 若關于x的二次三項式x2+（k-2）x+9是一個完全平方式，求k的值。

分析：已知條件可以轉化為關于x的一元二次方程x2+（k-2）x+9=0有兩個相等的實數根。

從而可以得到Δ=（k-2）2-4×1×9=0，解得k1=8，k2=-4。

啟示：要成為完全平方式，本可以利用完全平方式進行分類討論，但把條件轉為一元二次方程之后，就把問題轉化為熟悉的根的判別式問題，而且也無需進行分類，簡化了解題步驟，提高了學生的解題靈活性。

例2. 當m為何值時，關于x的二次三項式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在實數范圍內因式分解。

簡解：當Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0時，關于x的二次三項式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在實數范圍內因式分解。

∴m≥4且m≠0。

啟示：對于系數是有理數的二次三項式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，轉化為判斷一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況，所以，利用別式來判斷二次三項式能否在實數范圍內因式分解。

二、數形結合思想的滲透

數形結合思想是指將數（量）與形（圖）結合起來進行分析，研究解決問題的一種思維策略，數學研究的對象是數量關系和空間形式，即數與形兩個方面，其核心是以形解數，或以數解形，或數形互助，從而使問題獲得簡便易行的解決。

例3. 已知拋物線y=x2+ax+a-2，求證：不論a取何實數，該拋物線都與x軸有兩個交點。

分析：拋物線與x軸有兩個交點，即方程x2+ax+a-2=0有兩個不相等的實數根，即Δ>0。

而Δ=a2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4，故無論a取何值Δ>0。

啟示：本題需解決的是有關拋物線與x軸交點的情況，轉化為討論一元二次方程根的情況的問題，這是一道典型的運用數形結合思想解決的題目。在教學中，注意引導學生認真分析數學問題中的有關數字和圖形，并把數與形有機結合起來，找到解決問題的方法和策略，對提高學生的解題能力很有幫助。

例4. 二次函數y=-2x2-3x+k的圖像在x軸下方，求k的取值范圍.

解：∵二次函數y=-2x2-3x+k的圖像在x軸下方，

∴Δ<0，即（-3）2-4×（-2）k<0。

解得 k<- 。

啟示：本題可以結合二次函數圖像，由a<0，且圖像在x軸下方可知函數圖像與x軸沒有交點，故Δ<0，從而可求得k的取值范圍。

三、整體思想的滲透

整體思維就是考慮數學問題時，不是著眼于它的局部特征，而是把注意和著眼點放在問題的整體結構上，通過對其全面深刻的觀察。其核心是對數學問題的觀察和分析從客觀和大處入手，整體把握，化零為整。

例5. 已知拋物線y=x2+2x+m-1與直線y=x+2m只有一個公共點時，求m的值。

分析：兩個函數圖像只有一個公共點，理解為對應的兩個方程有公共解，即方程y=x2+2x+m-1和方程y=x+2m有公共解，然后把兩個方程看作一個整體，理解為x2+2x+m-1=x+2m只有一個解，再借助一元二次方程的判別式就可以順利解決。

Δ=12-4（m-1）=0，∴m= .

啟示：在求函數交點時，把兩個函數的問題轉為有關一個方程的整體問題，在教學中有效地滲透整體思想，以簡化運算過程，提高學生整體思考問題的能力。

例6. 已知x≥0，y≥0且x+2y=1，求x2+y2的最大值和最小值。

解：∵x+2y=1，∴x=1-2y。

∴s=x2+y2=（1-2y）2+y2=5y2-4y+1。

∴5y2-4y+1-s=0。

此方程為關于y的一元二次方程且有解。

∴Δ=16-20（1-s）≥0，s≥-

∴smin=-

又∵x≥0，y≥0且x=1-2y≥0，∴0≤y≤

對于函數s（y）=5y2-4y+1

s（0）=1 s（ ）= ∴x2+y2最大值為1

∴x2+y2最大值為1，最小值為

四、分類討論思想的滲透

分類是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法，分類從具體出發，選取適當的分類標準，劃分只是手段，分類研究才是目的，其核心就是全面而不重復，廣泛而不疏漏。

例7. 已知關于x的方程（k-1）x2-2x+1=0有實數根，求k的取值范圍。

分析：有實數根分為有兩個不相等實數根和有兩個相等的實數根，所以判別式Δ≥0，又條件沒有對方程的次數加以限定，所以又要分為一元一次方程和一元二次方程兩種情況，綜合以上兩方面的考慮，本題應得到Δ≥0或k=1，∴k≤2或k=1，∴k的取值范圍k≤2。

啟示：本題既要從兩個方面進行分類，在引導學生對可能出現的各種情況進行分類討論，從而提高學生思維的嚴密性。

初中范圍內，在運用韋達定理求字母取值時，其前提條件是使方程有實數根，所以必須考慮一元二次方程的判別式Δ≥0，判別式限制了一元二次方程的根與系數關系。

例8. 已知關于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的兩個實數根的平方和為17，求k的值。

簡解：設方程的兩個實數根為m、n，∴m+n=k-1，mn=-3k-2

∴m2+n2=（m+n）2-2mn=k2+4k+5=17

∴k1=-6，k2=2

又∵Δ=[-2（k-1）]2-4（-3k-2）=k2+10k+9

∴當k1=-6時，Δ=k2+10k+9=-15<0，方程無實數根；

當k2=2時，Δ=k2+10k+9=33>0方程有實數根。

故只取k=2。

再利用韋達定理求出字母值時，出現了兩種情況，每一種情況都應逐一考慮。

五、逆向思維的滲透

逆向思維就是把問題倒過來或從問題的反面思考和運用某些數學公式法則解決問題，其核心是培養學生思維的靈活性和發散性，讓學生掌握數學知識得到有效的遷移。

例9. 無論x取何值，分式 總有意義，求m滿足的條件。

分析：要使分式有意義，分母不能為零，即x2-4x+m始終不等于零，也就是方程x2-4x+m=0無解，故Δ<0，Δ=16-4m<0，解得m>4。

啟發：逆向思維是創新思維的一種重要方式，本題需考慮的是分式有意義的情況，直接入手解決會顯得有些困難，但從其反面入手，即考慮分式無意義時，本題解決方法就能迎刃而解。

例10. 已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y），求證：2y=x+z。

分析：構造一個以（x-y）、（z-x）、（y-z）為系數的一元二次方程，再利用根的判別式解決。

簡解：以（x-y）、（z-x）、（y-z）為系數的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有兩個不相等的實數根，

又∵（x-y）+（z-x）+（y-z）=0，

∴ t1=t2=1。

由根與系數的關系可知： =t1t2=1，

∴2y=x+z.

六、類比聯想的滲透

類比聯想就是根據事物間的相似點提出假設和猜想，從而把已知事物的屬性類比推廣到類似的新事物中，讓學生進行類比得到不同的結論。

例11. （1）已知關于x的方程（k-1）x2-2x+1=0有實數根，求k的取值范圍。

（2）已知函數y=（k-1）x2-2x+1與x軸有交點，求k的取值范圍。

（3）已知關于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有實數根，求k的取值范圍。

分析：第（1）題解為k≤2，第（2）題解也為k≤2，第（3）題對方程進行限制了，所以需考慮k-1≠0，所以本題的取值范圍為k≤2且k≠1。

啟發：本題將相似的三道題目一起呈現，以便讓學生通過類比與聯想，找出知識點之間的聯系與區別。教學中，應盡可能多給學生提供具有相似知識點的背景材料，這種對知識的有效整合，加深了學生對知識本身的理解，也提供了學生一種有效的學習方式。

根的判別式這節復習課，以根的判別式為立足點，有效運用各種初中數學思想方法，用“聯系”的觀點把各知識塊串起來，從而在教學過程中，不僅使學生完善知識體系，同時也有力地促進了學生思維品質的發展。

（作者單位：浙江省義烏繡湖中學 322000）