巧用數學極值法解決物理電學壓軸題

陳孝姜

摘 要：一元二次函數是初等數學的重要內容，須掌握好它的圖像和性質，本文簡單地舉例了一元二次函數在物理電學題中的應用，同時也是數理結合思想的一次實踐。

關鍵詞：一元二次函數；圖像；數理結合；應用

初中數學的拋物線原理是線上的每一點到一個定點（極點）和到一條定直線（準線）的距離相等，它是切割平行于圓錐的軸線而得到曲線，現在的定義和公式只是為了能在笛卡爾發展的直角坐標系（圖1）中更方便的研究它而發展為現在的公式：y=ax2+bx+c，通過配方法，y=ax2+bx+c=a[x2+b/a x）+c=a[x2+b/a x+（b/2a）2- （b/2a）2]+c =a[x +（b/2a）]2- （b2-4ac）/4a，我們可以找到這個準線和極點D的坐標（-b/2a，-（b2-4ac）/4a（圖2），俗話說：數理不分家！數學一元二次方程所涉及到的極值問題在初中物理電學計算題中就經常出現，由于極值問題可以考查學生對物理綜合分析能力和應用數學思維解決物理問題的能力，所以它既是物理學習中的難點，又是中考的熱點，往往作為難度系數較大的中考壓軸題出現，希望通過我的解答，能使各位執教者有所收獲，解決這一類物理中的數學問題 [1 ]。

例1、如圖3甲所示電路中，R0為定值電阻，R1為滑動變阻器。圖3乙是該滑動變阻器消耗的電功率P與電流表示數關系的圖像。求（1）該滑動變阻器的最大值是多少Ω？

（2）滑動變阻器消耗的最大功率是多少W？

分析：根據串聯電路電流與電壓特點，當滑動變阻器滑片往b滑時，R1阻值變大，電壓U1變大，但電路中的電流I1變小，即P1=U1↑I1↓，兩個變化大小相反的物理量，無法判斷P1值是變大還是變小，因此需結合圖3（乙）分析。

分析：利用串聯電路總電壓等于分電壓之和的特點，同時利用數學一元二次方程配方的方法，及R0已知的條件，巧妙地把求P1的問題，盡量化為與 U總、R0關系，從而解得結果： ∴當（I1-0.6）2=0，即此時I1=0.6A，滑動變阻器功率P1最大值為3.6W（如圖4）。

本題不僅求解得功率P1最大值，而且還求解得何時為最大值，即電流為0.6A時。解題過程圖像坐標都清清楚楚。下一題是上一題的變形，更復雜隱蔽些。

例2：干電池可以等效為一個沒有阻值的理想干電池（ ）和一個阻值一定的內阻 相串聯而成。如圖5所示，電源由幾個相同的干電池組成。合上開關S，變阻器的滑片從a端滑到b端的過程中，電路中的一些物理量的變化，如圖6甲、乙、丙所示，圖甲為電壓表示數與電流表示數關系，圖乙為干電池輸出功率跟電壓表示數關系，圖丙為干電池輸出電能的效率η與滑動變阻器接 入電路電阻大小的關系，不計電表、導線電阻，求 [1 ]：

又∵當滑片滑到最右端時，滑動變阻器的阻值最大，電流最小，Iab=U總/（Rab+r）=6V/（8+2）Ω=0.6A，Uab=Rab×Iab =0.6A×8Ω=4.8V，∴a點的坐標（0.6，4.8）

這兩題典型電學題的共同特點是：都是串聯電路（例題2是內阻與外電路的滑動變阻器串聯，條件隱含），滑動變阻器阻值都在變化，導致電流在變化，變阻器的功率也在變化，且功率變化不是線性地單純的增加或單純減少，而是先增加，增大到最大值后又減小，因此有且僅有一個極值，而求解這個極值必須用到數學的一元二次方程配方法，巧妙地配出準線中的橫軸X值，極值問題也就迎刃而解了。

參考文獻：

[1]黃東坡，鄒家武.物理培優競賽新方法（九年級）[M].武漢：湖北人民出版社，2015.