美麗的陰影部分圖形

李漢平

在初中數(shù)學(xué)《圓》這一章中，有很多求陰影部分面積的小題目，這是一類常見的基本題型. 有的題目，圖形直觀，能夠直接求出陰影部分的面積；但是，有的題目需要弄清圖形的構(gòu)造特點，運用一定的技巧和方法才能求出陰影部分的面積. 求陰影部分面積常用的方法是將不規(guī)則的圖形面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積后和與差. 下面介紹幾種常用的方法.

一、平移法

如圖①：兩個半圓中，長為24的弦AB與直徑CD平行且與小半圓相切，那么圖中陰影部分的面積為72 π.

分析 如圖①所示，將較小的半圓沿CD向右平移，使其圓心O1與較大的半圓的圓心O重合，變成圖②.這時，陰影部分就變成一個半圓環(huán)，由不規(guī)則圖形變成規(guī)則的圖形，進(jìn)而求出陰影的面積為72 π.

二、旋轉(zhuǎn)法

如圖，在Rt△ABC中，∠BCA= 90°，∠BAC = 30°，AB = 8，把△ABC以點B為中心，逆時針旋轉(zhuǎn)，使點C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長線上點C′，則AC邊掃過的面積（圖中陰影部分）為16 π.

分析 由圖①結(jié)構(gòu)可知：

S陰 = S扇形BAA′ + S△A′BC′ - S△ABC - S扇形BCC′ = S扇形BAA′ - S扇形BCC′

由已知條件可以算出這兩個扇形的圓心角都為120°，這樣陰影部分的面積實際上就是一個扇環(huán)的面積，（如圖②所示），從而很容易求出它的面積為16 π.

三、等積法

如圖①：AB為半圓O的直徑，C、D為半圓弧的三等分點，若AB = 12，則陰影部分的面積為6 π.

分析 連接CD，根據(jù)“同底等高，面積相等”的原理得到S△ACD = S△OCD，圖中的陰影部分的面積可轉(zhuǎn)化為圖②中扇形OCD的面積.

四、割補法

如圖，AB是☉O的直徑，C是半圓O上的一點，CD切☉O于點C，AD⊥CD，垂足為D，AD交☉O于E. 若E是的中點，☉O的半徑為1，則圖中陰影部分的面積為.

分析 由于E是的中點，所以弓形AE的面積等于弓形EC的面積，因此采用割補的方法，將圖①中的陰影部分轉(zhuǎn)化為圖②中的陰影部分. 在計算的過程中，要證明四邊形CDEF為矩形，運用勾股定理和垂經(jīng)定理等，求出CD和DE的長.

五、重疊法

如圖，正方形的邊長為2，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，則圖中陰影部分的面積為2π - 4.

分析 圖中的陰影部分是分別以正方形的四邊的中點為圓心，以各邊為直徑的半圓重疊而成的，每兩個半圓拼成一個圓，這樣陰影部分的面積就等于兩個圓的面積，減去正方形的面積.

在《圓》這一章中，求陰影部分面積的題目還有很多，求陰影部分面積的方法也很多，這里只列舉了幾種常用的方法，可供借鑒與參考. 每求出一個陰影部分的面積，就帶給我們美麗享受，技術(shù)的升華，大大打開解題的思路. 要達(dá)到爐火純青的地步，就需要在實際學(xué)習(xí)中廣泛做題，總結(jié)歸類，找出規(guī)律，以形成正確簡潔的方法.