集動、靜于一身的數學精靈

朱建新

定義：在一個數學表達式中，如果有這樣的量，它在每個指定情形下是一個常數，但在不同指定情形下的值不同，這樣的量叫做參變量，又叫參變數，簡稱參數.

參數是一種很奇怪的量，在一般的解題過程中，應視其為定值，但同時，卻又沒有具體確定它的值是多少，隨著它取值的變化，問題往往也會隨之發生變化. 因此，參數既有定值的表征，又有變量的特點，如果用一個形象的比喻來形容的話，它就是集動、靜于一身的精靈，具有兩重性. 如果不注意這個精靈的這種兩重性，就容易被它忽悠.

兩種解法得出兩種結果，誰對誰錯？孰是孰非？

其實我們只要具備孫悟空的火眼金睛，就不會被其忽悠所蒙蔽. 解法一是將集合A中的參數a視作變量而將集合B中的參數a視作常量考慮，在同一題中同一個量a做兩種截然不同的解釋，這是不允許的，因此解法一是錯解；而解法二將集合A、B中的參數都視為定值，這正是參數的本來面目，所以，解法二正確.

“參數”這個數學中的精靈是一個很活躍的元素，幾乎轉角都會遇到它，其作用不容低估. 怎樣用好參數的兩重性而不被其忽悠，往往成為數學解題中至關重要的一環. 筆者擬從自身教學實踐的角度出發，談一點看法.

一、靜中求動，切勿遺漏

在方程和不等式中，以字母形式出現的常數，都應視為參數. 在解題過程中，要特別注意這些參數對所作結論的影響，視其具體情況對其予以討論.

進行討論時，應就參數的特征理清層次，對參數的所有允許取值都要進行考慮，否則就可能有所遺漏. 如此例，容易丟失cos α = -1這一情況時的解x = 2.

二、有靜有動，弄清主從

對于含兩個參數的問題，正確的處理方法是將其中一個作定值看待，另一個作變量利用，一靜一動，相得益彰.

兩個參數，誰主誰從，要依據題意進行確定.

三、亦靜亦動，靜中見動

含參數的問題特別值得我們注意的是，一方面，參數的靜態表征往往使人只將它看作常數來處理；另一方面，參數的動態特性又使得結論具有不確定性，使得問題錯綜復雜化. 這時，就需順應題意，動靜得宜.

四、以靜馭動，相對輕松

曲線方程的一種，是參數方程. 其實，曲線的參數方程是一個函數組，就是把刻劃曲線的幾個變量統一用同一個參數各自表出，形成方程組. 這一性質意味著利用曲線的參數方程可以實現將所考慮的曲線問題統一在一個量下進行處理，達到減元的目的.

例5 已知橢圓 + = 1（a > b > 0），A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點P（x0，0），求證：- < x0 < .

分析 若設A（x1，y1），B（x2，y2），則產生四個變量，雖說由A、B兩點在橢圓上可產生兩個等式，但要用于消元卻不太方便. 然而，利用橢圓的參數方程，只需設兩個變元，且可直接反映出A、B在橢圓上，減少大量的運算.

解題時，適當的引進參數，有利于問題的解決；引入參數，往往能拓寬思路，找到解題的捷徑. 因此，要善于引入參數解題.

參數的運用還有許多，比如反客為主（將參數與主要變量互換地位）、分離參數，等等. 但只要我們細心研究，悉心鉆研，參數這個數學的精靈就不但不會忽悠我們，反而會成為我們的好朋友，為我們的數學教學增光添彩！