積累活動經驗 理解知識本質

孫艷君

長期以來，計算規則圖形的面積已經達成共識. 但是現實生活中存在很多圖形，分割后仍難以找到基本的圖形，需要學生有較強的估計能力，會用各種方法相對準確地得到它的面積. 在以前的教材中，并沒有安排不規則圖形的面積問題. 因此北師版教材把這一內容編入教材，要求學生掌握估計、計算不規則圖形的面積，這不僅有助于培養學生的空間觀念，同時也有助于提高學生解決問題的能力. 《成長的腳印》就是這一領域的一個內容.

一、對學習內容的分析

（一）學科本質分析

關于不規則圖形的面積怎么求？吳正憲老師是這樣說的：首先要確定單位，也就是把圖形放到格子里去數去估. 其次就是要想清楚怎么去估？既然是去估測，就不是去找一個點，應該找上限、下限，確定取值范圍. 關于估計，《義務教育數學課程標準》是這樣要求的：學段一：會選擇合適的單位去估計；學段二：會選擇合適的方法去估計. 估就是換一個思想解決問題，在生活中估比精更重要.

（二）教材分析

本節課教材原有的設計大部分是值得借鑒的，但經過對課標的解讀，專家的講座的分析和對多個不同版本教材的對比之后，我們對教材進行了個性化處理.

首先，教材直接給出格子圖中的腳印，沒有讓學生體會到格子圖也就是確定測量單位的必要性. 而確定單位是求不規則圖形面積的重要一步，教材這樣直接給出是不合理的. 鑒于此，我們首先給出的腳印是不帶格子的，在引導學生復習規則圖形面積的基礎上，讓學生知道求一個圖形的面積其實就是求這個圖形所包含的面積單位的個數，從而讓學生深刻地體會到要知道不規則圖形的面積也是求它所包含的面積單位的個數，也就是格子的數量.

其次，教材給出的兩個不同腳印面積的測量，用的格子都是1平方厘米，這樣不利于學生體會測量單位越小測量的結果越精準. 在讓學生用數格子的方法，估計不規則圖形的面積的同時，向學生提供大小不同的格子，這不僅可以豐富學生估計的策略和方法，更為關鍵的是可以讓學生體會到格子越小得到的面積越接近實際面積.

二、對學生認知的分析

在上課之前，為了確定學生對本節課的學習是否已經有了良好的認知基礎和數學活動經驗，是否已經部分或全部掌握了本節課的知識內容，我進行了問卷調查.

前測試題共包括兩個部分：第一部分是本節課的知識基礎，即規則圖形的面積及面積計算方法，即問卷的第一題. 如果學生已有的認知基礎或數學活動經驗比較薄弱，那么在課初我就應該想辦法幫助學生補救經驗，理清思路. 如果學生的認知方式非常成熟，已有的知識基礎扎實，那么在課初就可以一語帶過. 第二部分是本節課的新知，即不規則圖形的面積的定義及如何得到不規則圖形的面積，即問卷的第二題和第三題. 如果學生對本節課的新知覺得困難無以應對，那么這節課應該降低難度，減緩坡度，分解目標，讓學生可以拾級而上. 如果學生對新知已經基本了解，并有一定的想法，那么這節課就可以提高難度，整合目標，讓學生獲得更大的發展和提升.

全班共40人，全部參與前測，獲有效問卷40份，現分析如下：

1. 學生的認知基礎分析

第一題：“你會計算哪些規則圖形的面積？請分別寫出它們的算法. ”這是本節課的知識基礎部分，調查結果顯示40人全部做答并完全正確，個別同學沒有把學過的所有規則圖形的面積進行做答，但是只要做答的都完全正確. 這表明全班學生對于規則圖形的面積及面積計算方法都掌握的很扎實.

2. 學生對新知的理解情況分析

第二題：“你知道什么是不規則圖形嗎？請說明你的想法，可以寫一寫，畫一畫. ”該題主要是通過對學生的表征方式的分析與考察，來了解學生對新知的理解程度.

調查結果顯示：很多學生對能夠利用不同的表征方式去理解不規則圖形. 這說明學生對不規則圖形的內涵或外延有了很好的理解.

調查結果顯示：大多數學生對不規則圖形有一定的認識，也有少部分同學出現了概念混淆，產生了錯誤的理解. 接下來的教學有必要對不規則圖形的定義進行界定.

3. 學生對新知的掌握情況分析

第三題：“請你想辦法得到下面不規則圖形的面積. ”該題主要是通過對學生的已經掌握的方法的分析與考察，來了解學生對新知的掌握程度.

調查結果顯示：大多數學生對于一一拼湊數格子和轉化的方法有了很好的經驗，而半格法和大于半格記為1格，小于半格記為0格，是絕大多數學生所不知道的，這就應該是本節課在數格的方法策略研究的重點.

大多數學生對于得到答案本身沒有問題，因此通過不同方法策略的對比，引導學生得到一個相對合理的范圍，才是這節課的關鍵.

三、教學設計與意圖

本節課在前面的分析和思考的基礎上，形成以下設計：

（一）以求規則圖形的面積為基礎，認識不規則圖形及其面積的求法

師：同學們，這節課我們一起來學習有關面積的知識. 這些都是我們學過的由直線段圍成的什么圖形？它們的面積都是怎么算的？長方形的面積公式是什么？那長乘寬其實求的是什么？對了，是它所包含的面積單位的個數.

師：其實所有這節規則圖形都是用公式很快地得到它多包含的面積單位的個數，也就是它的面積. 誰還記得面積單位都是怎么規定的了？都是以一定邊長的正方形的面積為標準. 師：其實生活中很多事物的形狀并不都是這樣規則的，它是由曲線圍成的不規則圖形. 什么啊？猜猜看！野人的腳印. 有什么好辦法能得到這個腳印的面積呢？那你能直接計算出它們的面積嗎？我們要想知道它的面積究竟有多大，其實只需要知道它到底包含幾個面積單位？要數的這些格子其實就是一個一個的面積單位，通過數格子我們就可以知道這個不規則的圖形所包含的面積單位的個數.

通過復習規則圖形的面積，讓學生知道所有規則圖形的面積其實都是用公式很快地得到它多包含的面積單位的個數. 通過復習對面積單位的規定，讓學生知道不同的面積單位其實都是以一定邊長的正方形的面積的大小為標準. 在引導學生復習規則圖形面積的基礎上，讓學生知道求一個圖形的面積其實就是求這個圖形所包含的面積單位的個數，從而讓學生深刻地體會到要知道不規則圖形的面積也是求它所包含的面積單位的個數，也就是格子的數量.

（二）通過不同方法的比較，掌握拼湊和轉化兩種策略

1. 數估大格

（1）拼湊

師：他是怎么數的？也就是說他在數之前先對格子進行了分類，整格和不足一格. 老師想問問你在數的時候，什么樣的格子不好數？這不好數的你是用什么方法數的？

（2）轉化

割補畫長方形

師：他這是什么方法？把不規則的腳印轉化為規則的長方形. （板書：不規則 規則）我們都一個一個再數，你能算出來. 他把外面多的部分移給里面少的，其實也是在拼湊. 只不過剛才湊的是整格，現在湊的是長方形.

在外面畫長方形

師：你真厲害！我們都一直瞪著腳印在數，你沒數也沒湊，直接在腳印外面圈了一個長方形. 行不行？為什么不行？他得到的面積比腳印的面積大了. 有沒有優點？可以很快地算出來，不用一個格一個格去數了. 如果我們對結果的精準度沒有那么高要求的時候，他這個是完全可以的.

2. 數估小格

師：看來，要想相對準確地得到腳印的面積，無論大格小格把不足一格拼湊成整格確實是一個好辦法！但是這個不足一格的和大格子比起來多多了，一個一個拼湊起來你們覺得怎么樣？有沒有不是一一拼湊，但也數出來的？

（1）拼湊

方法一：（板書：大于半格：1，小于半格：0）

師：少半格的都沒數，還準嗎？

方法二：（板書：÷2）

師：他把所有不足一格都加起來再除以2，相當于他把所有不足一格的都看成多大了？對了，半格. 然后再兩兩拼湊成整格. 數小格的有沒有用不一樣的方法了？

（2）轉化

方法一：大長方形、不足一格都看成一格

師：這回我們可以確定腳印的實際面積一定小于多少了？剛才我們確定腳印面積一定比那個小，現在又有這個小了？怎么回事？剛才大格子圈的旁邊空的地方大，現在小格子圈的空的地方小了，所以就更接近了，范圍也就小了.

方法二：小長方形、不足一格都不看

師：通過他的方法我們知道了腳印的面積一定比這個小，那腳印的面積一定比多大大呢？有沒有同學得到結論的？你看老師這樣畫行不行？（師用彩筆畫長方形）腳印的面積是不是一定比它大呢？

師：雖然我們沒有得到腳印的實際面積到底有多大，經過大家的努力，我們確定了一個范圍，如果你數得的結果在這個范圍內就更合理了.

根據學生的知識水平教給學生一些基本的估計方法，通過估數大格、小格不同方法的比較，使學生掌握拼湊和轉化兩種策略.

（三）通過大格和小格的對比，體會單位越小測量的結果越準

師：看看左邊的答案是我們數大格得到的，右邊的答案是數小格得到的. 你想說點什么？老師現在想問一下你們都誰數的大格？誰數的小格？都說說你為什么選它？

師：你們的直覺是小格子準，觀察這些數據的結果也是小格子的答案比較集中，好像挺準的，那小格子準的道理是什么呢？有道理，看來確實是格子越小數得的面積就越接近腳印的實際面積. 那如果格子再小呢？再小呢？那我還想再接近實際面積，怎么辦？

所有的格子平均分成4份，分成更小的格子，再平均分成4份，分成更小的格子，我們還以重新設定更小的格子為單位，這樣不斷地去逼近，這個時候探索出更逼近實際的那個準確值. 通過調查學生剛開始選卡的原因，知道學生的直覺是格子越小越準. 經過后來討論和大小格子的數據的對比，讓學生明白格子越小越準的道理.

（四）積累活動經驗，溝通知識聯系，突出面積及測量本質

1. 溝通不規則圖形與規則圖形的聯系，理解求面積的通法通則

師總結：同學們，我們一起學習了不規則圖形的面積，其實無論是規則的圖形還是不規則的圖形，我們知道要想知道它的面積究竟有多大，其實就是要測量或計算出它所包含的面積單位的個數.

數方格測量所有圖形面積的通性通法. 無論是規則的圖形還是不規則的圖形，我們知道要想知道它的面積究竟有多大，其實就是要測量或計算出它所包含的面積單位的個數.

2. 溝通測量面積與長度、體積的相通之處，突出測量的本質

師：提到測量，大家一定不陌生. 從一年級到現在，其實我們已經學習了很多測量的知識，比如測量長度，測量面積，還有即將學習的立體圖形的測量. 其實它們的道理都是一樣的，就根據實際的需要選擇合適的單位去量，要想保證測量結果的精準，就要選擇足夠小的單位.

由對二維面積的測量，溝通學生學過的一維長度的測量，后面即將學習三維體積的測量的聯系，突出測量的本質就是測量長度、面積、體積所包含的單位的個數. 根據實際的需要選擇合適的單位去量，要想保證測量結果的精準，就要選擇足夠小的單位.

四、教學效果與反思

（一）積累經驗，促進學生思維發展

本節課學生完整經歷了這樣一個發現問題，提出問題，勇敢地去嘗試解決問題的過程. 這才是積極意義上的探索者，而不是亦步亦趨地跟著老師的偽探索，充其量是個操作工. 學生可能不懂什么是逼近，但是在這個過程中它體會著極限思想，在活動中積累著活動經驗. 它今后遇到問題還能去等嗎？他一定是積極地去思考，去解決.

（二）尊重差異，促進個性發展

本節課我設計了兩種不同的獨立學習卡供學生選擇，分別是4平方厘米的大格和1平方厘米的小格. 性子急的學生追求速度，會選擇大格子的，思維嚴謹的學生追求精準，會選擇小格子的. 尊重差異，開發不同的學習資源，更有利于促進學生的個性發展.

（三）保護天性，促進自主發展

本節課我試圖充分保護學生的天性. 具體表現在：1.創設有價值的情境，保護學生愛探究的天性. 2.保護學生愛問的天性. 3.保護學生愛表達的天性. 教師不用擔心講不完，不要擔心學生說不明白，要相信學生，下一名學生要表達的很可能正是你著急要說的. 長此以往，學生會越來越愛探究，越來越愛表達，結果是越來越喜歡數學課.