在操作中理解，在對比中構建

周英

【摘 要】計算教學是“數與代數”領域內的重要組成部分，并且貫穿于整個小學階段的數學學習。因此在計算教學中通過有效的活動體驗，加深學生對于計算模型的意義理解，促進知識概念的整體建構和運算能力的發展，顯得尤為重要和迫切。以“有余數的除法”一課教學為例，教師可以嘗試以數學活動操作為抓手，強化“有余數除法”計算模型整體建構，以求有所突破。

【關鍵詞】操作 對比 理解建構 有余數的除法

人教版數學教材二年級下冊的“有余數的除法”是表內除法知識的延伸和拓展。鑒于有余數的除法與表內除法的這種密切聯系，以及考慮到通過操作和對比更有利于學生對這部分內容的理解，修訂后的教材將本單元從三年級上冊調整到了二年級下冊。教材安排了表內除法與有余數的除法的含義、余數和除法的關系、有余數的除法豎式和表內除法的豎式、試商和解決問題五課時。“有余數的除法”作為除法筆算的起始課，理解除法算式中各數的意義是這一內容學習的前提。

一、注重操作，促進學生對知識的理解

動手操作是幫助學生學習數學、理解數學的一種簡便易行的方法，這是這個單元教學的重要支撐。教材中的例1對余數概念的理解、對有余數的除法含義的理解，都是借助操作來進行的，由直觀操作到符號表征，使學生從多方面、多角度理解所要學習的知識。

根據二年級學生的認知能力、自學能力等特點，進行操作實驗時，離不開教師的指導，課堂教學中要遵循有序性的原則。此外，學生在實際生活中對“有余數除法”會有一些感性的認識和經驗，但缺乏清晰的概念認識。因此，教學時要有意識地聯系學生已有的知識和經驗，來溝通有余數除法和表內除法的關系，在具體情境中感知“有余數的除法”的意義。

（一）微課視頻中的操作，激活前認知

【教學片段1】

師：我們之前經常會用小棒（PPT出示）幫助我們開展學習活動，今天我們又會用小棒來做點什么呢？請仔細看大屏幕！

視頻1：（有8根小棒，每4根搭1個“□”）學生操作。

視頻2：（有9根小棒，每4根搭1個“□”）學生操作。

播放結束，畫面定格，變成一張PPT。

學生在學習表內除法時，教材通過直觀圖和文字，已呈現了平均分的過程，課堂教學中教師讓學生借助學具平均分一分、擺一擺，或者在圖中連一連、圈一圈，從動作表征和表象表征開始，使學生積累了豐富的平均分的活動經驗；進而組織學生用語言表述自己的操作過程，再寫出相應的算式，最后讓學生說說算式表示的意思。學生經歷了“學習除法”的全過程，在此基礎上學習“有余數的除法”，借助微視頻動態地記錄下學生“用8根小棒擺正方形，剛好擺完”和“9根小棒擺正方形，有剩余”的過程，不僅能激活學生的前認知，而且能讓學生關注到擺的結果，避免了實物操作過程中的無關因素的干擾。

（二）問題解決中的操作，圈畫后理解

【教學片段2】等分與包含，多種表征促理解

圈一圈，畫一畫：

（1）9支鉛筆，每人分2支，可以分給（ ）人，還剩（ ）支。

9÷2=□（人）……□（支）

（2）9支鉛筆，平均分給4人，分一分，把分的結果畫出來。

每人分得（ ）支，還剩（ ）支。

9÷4=□（人）……□（支）

做完后請學生自己上來講一講：對應著圖說一說算式中每個數表示的意義。

該練習是先用語言描述操作要求，再讓學生圈、畫、填，最后用除法算式表示。即多種表征形式相互映襯，幫助學生理解余數及有余數的除法的含義，并學會確定商和余數的名數。且此題涵蓋了平均分的兩種情況（包含和等分），除繼續鞏固相關知識外，可使學生進一步體會在有余數的除法中，商和余數的名數什么時候相同（等分），什么時候不同（包含）。

【教學片段3】包含中開放，助理解除法本質

一共有18個彩球，請你任選一種盒子來裝彩球，可以裝滿幾盒？

學生可能會有三種不同的結果：

18÷5=3（盒）……3（個） 裝滿3盒，剩余3個；

18÷6=3（盒） 裝滿3盒，沒有剩余；

18÷7=2（盒）……4（個） 裝滿2盒，剩余4個。

此題以學生生活中熟悉的“分彩球”為素材，利用平均分中的“包含”的情況，幫助學生進一步理解余數及有余數的除法的含義。在裝18個彩球時，有三種不同的包裝盒（5個/盒、6個/盒、7個/盒），在編排上體現了開放性，學生可以任選一種裝法圈一圈并列出算式。同時，這道題也將有余數的除法的不同表征形式放在一起，利于學生理解，進一步感受商和余數的名數的不同。

本課練習設計中充分關注到了有余數除法多種表征方式的轉換。每題都是根據文字的意思先進行操作，然后把操作的結果填在括號中，最后完成有余數除法的橫式書寫，讓學生邊圈（邊分）邊說邊寫，使學生充分感受到操作、文字、橫式所表達意義的統一，理解除法的本質。

二、通過對比，助推有余除模型的建構

數學概念教學的根本任務就是正確揭示概念的內涵和外延。對于“有余數除法”的概念，不僅要準確地解釋它的內涵，而且要挖掘它的外延，使學生對概念的理解逐步完善。“有余數的除法”不僅是表內除法知識的延伸和拓展，也是今后繼續學習一位數除多位數等除法的重要基礎。這部分知識的學習具有承上啟下的作用，因此教學時需要不斷將有余數的除法與剛學習的表內除法的兩種情況對比呈現，使學生體會有余數的除法與表內除法的關系，為建構起合理的除法知識結構網絡提供支撐點。

（一）表征形式中的對比，由表及里

【教學片段4】

師：剛才的視頻，你看懂了嗎？兩次分小棒，哪里不一樣呢？

活動要求：請你在學習單上，通過畫一畫、列一列、寫一寫的方式，把剛才分的過程和結果通過文字或者符號表示出來。

反饋學生作品：

（1）8根小棒擺正方形。

實物投影學生的作品：□□ 8÷4=2（個）

（2）9根小棒擺正方形。

實物投影學生的作品：□□丨 2×4+1=9（根） 9÷4=2 …… 1

師：剛才同學們有的用了畫圖的方法，有的用了2×4+1=9（根）這樣的算式，還有的同學用了除法算式，其實都想要表達9里面有幾個4。

幾何直觀是《課標（2011年版）》提出的十大核心概念之一，和除法有關的例題教學都是建立在直觀的基礎上的。教學時教師要充分運用直觀和算式的對比，幫助學生理解余數及有余數的除法的含義。在實際教學過程中，學生學習除法經歷如下圖的表征過程，這種表征是單向的，有去無回的，學生只經歷了由具體到抽象的過程。通過對比，溝通操作過程、語言表達、算式之間的轉換，使學生明白它們的意思是一樣的，只是表達形式不同，促使學生進一步理解除數、商和余數的名數的確定。

本課除了在探究新知這個環節通過對比喚起學生已有的知識經驗，加深學生對有余數的除法的理解外，還在探索余數與除數的關系時，也采用了對比的方法，幫助學生感受在平均分物的過程中的兩種情況，以及剩余部分的可能性。

（二）平均分物中的對比，拾級而上

【教學片段5】

師：剛才我們通過畫圖、列式的方法把擺小棒的過程清楚地表示出來，如果有10根小棒，能擺幾個正方形又余幾根呢？

板書：10÷4=2（個）……2（根）

師：大家發現了嗎？原來余數也會隨著根數變化而有所變化，再加1根呢？

板書：11÷4=2（個）……3（根）

師：繼續加1根，會怎么樣？你們先想一想，再寫寫看。

生：12÷4=2（個）……4（根）

12÷4=3（個）

師：這兩個算式到底哪一個是正確的呢？

生：余數不能為4，因為4根又可以變成1個“□”了，就“沒有”余數了。所以應該是12÷4=3（個）。

教師把算式寫到8÷4=2（個）的下面。

師：如果有13根小棒， 再往下想，14根呢？（余2根）15根呢？（余3根）那16根呢？（沒有余數，正好擺4個“□”）。

師：仔細觀察這些算式及算式中的余數，你發現了什么？

生：余數要小于除數。

教師用板書記錄下除法的兩種不同的分類，讓學生感受到“分到不能再分一份”或“不夠每份再分一個”所剩下的是“余數”。教學中，始終將“有余數的除法”放在“平均分”這個大背景下，將平均分中“恰好分完”“分后有剩余”這兩種不同的結果進行對比，不僅幫助學生建構起合理的知識結構網絡，而且還培養了學生分析、比較、歸納的能力。

總的來說，要落實《課標（2011年版）》提出的運算能力培養目標，教師在運算概念教學時就要充分利用學生原有的知識經驗和活動經驗，通過操作、比較等數學活動，讓學生理解四則運算的基本概念，以實現學習主體能力的全面提升。