兒童數學教育視角下“模型思想”的教學探索與實現

韓玉娟

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）總目標中明確指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗。”基本數學思想是指普適性的、一般性的、數學學科特有或者比較突出的思想，東北師范大學校長史寧中教授將基本數學思想界定為抽象思想、推理思想和模型思想，這三個基本數學思想也是“讓學生學會用數學的眼光觀察世界、用數學的思維分析世界、用數學的語言表達世界”的基礎和具體體現，教師也越來越關注基本數學思想的滲透與培養。在小學階段四大領域的教學中所涉及的“模型思想”內容十分豐富，本文將通過對“模型思想”教學的探索和實踐，并在此基礎上提出相應的概念解讀、教材梳理、實踐策略、教學建議與大家交流。

一、“模型思想”的內涵

（一）數學模型

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構，在社會生活的方方面面有著廣泛的應用。史寧中教授認為：“通俗地說，數學模型是借用數學的語言講述現實世界的故事。”

廣義地說，一切數學概念、數學理論體系、數學公式、數學方程以及由它們構成的算法系統都可以稱為數學模型，主要的表現形式是數學符號表達式、圖形和圖表。從狹義上講，數學模型就是只指那些反映了特定問題或特定的具體事物系統的數學關系結構，像“雞兔同籠、植樹問題”等一些典型的實際問題是對一類問題的刻畫和表達，都是重要的狹義上的數學模型。曹培英教授認為：“廣義、狹義的數學模型，都是人類進化、社會發展的產物。”

（二）模型思想

數學的模型思想是一般化的思想方法，就是針對要解決的問題，構造相應的數學模型，通過對數學模型的研究來解決實際問題的一種數學思想方法。可見，模型思想體現在建立模型和模型應用兩個方面。

《課標》明確指出，“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑”。并從實際出發，將建立和求解模型具體化為這樣的三個過程：

《課標》這樣的要求，不僅表明了數學的應用價值，同時明確了建立模型是數學應用和解決問題的核心，也是解決實際問題的關鍵，是解決實際問題的一種強有力的工具。從這個意義上講，數學教學實際上就是引導學生理解和探索前人構建的一個個數學模型，逐步形成模型思想的過程，是用數學語言來描述現實現象的過程，是實際問題“數學化”的過程，而求解模型則是問題解決的過程，是模型應用的過程。

二、小學數學教材中模型思想的具體體現

有專家將小學階段四大領域中所涉及的數學模型劃分為公式模型、方程模型、集合模型、函數模型（正、反比例）四種重要的模型。人教社小學數學編輯室主任王永春老師在《小學數學與數學思想方法》一書中指出，在小學階段，一般的數量關系式、公式、按規律排列的一組數、算式或圖形等都可以看成是數學模型。學習和參考王永春老師對小學數學模型的梳理結果，筆者在此基礎上稍稍進行了調整和補充，具體見下表：

三、滲透模型思想的教學實踐策略

我們來了解一下建立和求解模型的過程，可以用下面這樣一幅圖來表示：

在這一過程中，發現和提出數學問題是建立模型的基礎和起點，通過觀察分析、抽象概括、選擇判斷等活動完成模式抽象，得到模型是最重要環節。可以說，數學模型是靜態的形式化結構，數學建模就是動態的數學化的過程。

策略一：以生活原型為基礎，構建數學模型

生活原型是構建數學模型的基礎，教師應該將生活中源源不斷的、豐富多彩的具體事例引入課堂，通過現實的生活原型引導學生提出數學問題，為發現和理解數學模型做好準備。這樣做，一方面，可以消除學生對數學知識的恐懼，感受生活中熟悉的內容；另一方面，教師也在悄然滲透模型思想。

最經典的莫過于“哥尼斯堡七橋問題”：18世紀東普魯士的哥尼斯堡，有一條河穿過，河上有兩個小島，有七座橋把兩個島與河岸聯系起來。一個步行者怎樣才能不重復、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發點呢？從這樣一個生活原型中，數學家歐拉根據陸地、橋和人的關系，巧妙地把小島、河岸抽象成“點”，把橋抽象成“線”，將能否一次無重復地走過七座橋的問題轉化為能否“一筆畫出”這個幾何模型的問題，用數學的方法證明不能一筆畫出，從而得出人也不能一次無重復地走過這七座橋的結論。

在教學“植樹問題”時，教師會為學生提供真實的生活原型：學校要召開運動會，從校門口到教學樓之間50米的甬道兩側每隔5米要插上一面彩旗，一共需要多少面彩旗呢？在解決問題的過程中體會和建構“點數與段數”之間關系的數學模型。在教學正比例關系時，老師為學生提供多種商品的銷售記錄，學生在觀察、討論、計算的過程中，逐漸發現和理解這兩種量中相對應的兩個數的比值一定，從而建構“正比例關系”的數學模型。

策略二：以生活情境為載體，經歷建模過程

1. 經歷從一個到一類的過程

模型的建立不是一蹴而就的，從一個情境或現象中建構的數學模型，得到的數學結果和數學規律，需要通過檢驗，需要以生活情境為載體，從不同情境中多次感悟，經歷從 “境”到“模”的過程，要多舉一些實例。比如對于加法這個數學運算模型，要通過大量的生活情境，反復感受把兩部分合并成一個部分用加法計算，經歷多次的長時間的感悟，學生才能夠逐漸理解加法的意義，形成加法模型。

例如全國著名特級教師吳正憲執教的“乘法分配律”一課，為了讓學生順利構建“a（b+c）= ab+ac”這個數學模型，吳老師給學生提供了三個不同的素材：

①左邊的花壇中每行有12朵花，共有8行。右邊的花壇中每行有8朵花，共有8行。一共有多少朵花？

②兩個花壇一共有多大的面積？

③廚房要鋪瓷磚，一共需要鋪多大的面積？

在解決問題、交流匯報的過程中，多個生活原型幫助學生似乎找到了一些“感覺”，他們體會到雖然情境不一樣，但是問題的本質是一樣的，解決問題都有兩種方法，這兩種方法結果是一樣的，而且這兩種方法在計算過程中存在某種聯系……為了讓這種“感覺”更清晰一些，吳老師又安排讓學生自己創造幾個符合“這種感覺”的算式。

這一類素材的呈現和問題的解決，使得學生對于這個模型經歷了一個循序漸進、從模糊到清晰的領悟過程。

2. 經歷從具體到抽象的過程

數學模型源于生活原型，是對生活原型的高度凝練、簡化與提升而形成的，數學模型是用數學符號、數學公式、程序、圖、表等刻畫客觀事物本質屬性與內在聯系的理想化表述，因此，數學的抽象與概括是建立模型的重要過程。要讓學生經歷從具體感知到抽象概括的過程，用數學的語言和方式進行表達。

在吳老師的“乘法分配律”一課教學中，學生通過上述一類問題感受到有規律存在，找到一點“感覺”，教師適時安排了抽象概括的環節：這一類問題有什么規律？你能把這個共同的規律用自己的語言寫出來嗎？

生：我發現結果是一樣的，而且寫不完。

生：兩個物體的長加在一起再乘寬就等于面積。

生：這一類問題，兩組數可以分開算，也可以一起算，而且結果一樣，寫不完。兩個算式有一個數一樣。

學生的表達反映出學生對于乘法分配律這個模型已經有了充分的感知，同時也反映出學生的抽象水平和概括水平存在差異，有的學生還只是停留在“悟模”的階段，不能進行完整的歸納概括，有的學生抽象水平高，已經“成模”，對于模型的概括就比較好。在建立模型的過程中，經歷從具體到抽象的過程是非常重要的，是必不可少的，這是對數學本質的理解與抽象。

與此同時，模型的建立還要能夠借助具體事件和情境解讀抽象的表達式，這也是對模型內化的過程。在教學“乘法初步認識”時，學生已經從多個生活現象中經歷了圖形表征、語言表征、符號表征的過程，抽象出“求幾個相同加數和的簡便運算”這一乘法模型，能否用你喜歡的方式表達5×4的含義呢？5×4作為一個抽象的算式模型，學生理解嗎？只需看看學生的作品就清楚了。

還有的學生用語言描述：餐廳里每桌有5位客人，4桌是多少人？有的學生畫出一個花瓶中有4枝花，5個花瓶有幾枝花？……不同的形式都表達著同一個算式的意思。可見，乘法模型已經在學生頭腦中建立起來。從具體解釋抽象，用生活中的故事解讀數學模型，是檢驗學生是否理解數學模型、理解知識本質的有效途徑。

3. 經歷從猜想到驗證的過程

“提出猜想—驗證猜想”是一種科學精神，由于小學生年齡小，生活經驗、認知水平和探究能力都是有限的，在小學階段建模最有效、最直接的方法就是讓學生經歷“提出猜想—驗證猜想”的過程。小學數學中很多模型都可以通過這樣的方式來建立。

在“平行四邊形的面積”一課教學中，教師通過談話引發學生猜想：同學們，我們學過長方形的面積=長×寬，正方形的面積=邊長×邊長，猜一猜，這個平行四邊形停車位的面積該怎樣計算呢？

受到原有知識經驗的影響，學生當中出現了三種方法：4×5，4×6，5×6。當然，這些都只是猜想，到底哪一個是正確的呢？用原有的方法驗證一下吧。

學生通過數方格或將平行四邊形轉化成長方形，發現平行四邊形的面積應該是4×6，所以平行四邊形的面積=底×高。

所有的平行四邊形都能用底×高來計算嗎？教師為學生提供不同的平行四邊形來進行再次驗證。最終無一例外都驗證這一結論的正確性，從而建立了平行四邊形的面積計算模型。

“提出猜想—驗證猜想”也是數學建模的重要途徑，根據數學問題提出一種猜想，也許這個猜想是錯的，但只要是學生基于經驗認真思考的都應該給予積極的正面回應，經過檢驗的正確猜想就成為一個數學結果，進而會成為一個數學模型。

策略三：以解決問題為目標，自覺應用模型

形成模型思想，就要讓學生在“建模”之后“用模”，引導他們運用數學模型解決實際生活中的問題，內化模型，并體會模型的價值和作用。

在學生建立了“正比例關系”這一數學模型之后，教師巧妙地運用了著名數學教育家弗賴登塔爾設計的經典數學問題“巨人的手印”：夜晚，巨人訪問我們的校園，在黑板上留下巨大的手印，你能根據他的手印為他設計書籍、桌子和椅子的尺寸嗎？在這一問題的引領下，學生積極想辦法，主動嘗試，用自己的手和巨人的手相比，得到一個比值，同時量出自己的書籍、桌椅的尺寸，并通過這個固定的比值來推算巨人的這些物品的大小。在解決這一問題的過程中，學生通過測量、觀察、計算，進一步理解正比例關系模型的內涵。

經典的“雞兔同籠”問題大家都很熟悉，“雞和兔子共8個頭26條腿，雞兔各幾只？”在學生利用畫表、畫圖、假設等方法解決問題并建立數學模型之后，可以進行適當的變式練習：同學們去劃船，大船可以坐6人，小船可以坐4人，有120名同學，25只船，大小船各有幾只呢？解決問題時，關鍵是能否找到對應關系，120人相當于雞和兔的總腿數，25只船相當于雞和兔的總只數。只要找到對應關系就能利用“雞兔同籠”的數學模型解決租船問題了。

利用已有模型解決問題是小學階段的一個主要內容，有利于學生理解和掌握相關的知識技能，感悟數學思想和方法，積累解決問題的經驗，形成數學的思維方式。

四、滲透模型思想的教學建議

（一）情境和活動設計符合兒童年齡特征和思維特點

數學模型是很抽象的。6～12歲的兒童由于其身體和心理發育都還不成熟，思維上以形象思維為主，逐漸向抽象思維過渡，因此在建立數學模型的過程中，要考慮到兒童的年齡特點、認知規律、生活經驗等，應該選擇學生熟悉的、感興趣的素材和生活情境為依托，讓學生經歷數學模型再創造的過程。

（二）充分經歷建模過程，尊重兒童的獨特理解與個性表達

建立數學模型是一個比較復雜并且具有挑戰性的過程，教師要讓學生充分經歷建立數學模型的過程，并且根據學生的起點、基礎、思維水平的不同，要求學生用說一說、畫一畫、寫一寫等不同方式表達對模型的感悟和理解，要關注抽象概括能力的培養。

（三）模型思想的滲透要選擇合適的知識載體并循序漸進

模型思想的形成需要經歷一個長期的過程，日常教學中，要增強對模型思想的認識，精心篩選教學內容和知識載體，選擇合適的契機潛移默化并循序漸進地進行滲透。

參考文獻：

[1]王永春.小學數學與數學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014（10）.

[2]王光明，范文貴，主編.新版課程標準解析與教學指導[M].北京：北京師范大學出版社，2012（7）.