變教為學

高艷影 郜舒竹

【摘 要】在目前的概念教學中，往往存在對概念的剖析不足和教學模式單一等問題，而教科書作為教師教學的主要依據，雖然能夠明確指出數學概念的本質，但也因其高度的概括性使學生對概念的理解存在一定的困難。面對這樣的問題，學生可以通過查閱詞典，然后用與教科書中的概念進行對比、分析的方式學習數學概念，這樣不僅能夠輔助學生對其進行理解，還可以將課堂上以教師“講授”為主的教學活動，改變為以學生自主“學習”為主的學習活動，變“教概念”為“學概念”，從而實現數學概念的“變教為學”。這樣的概念學習模式對于學生的概念學習是有必要的、有益的。

【關鍵詞】漢語詞典 概念教學 變教為學 教科書

一、小學數學概念教學中存在的問題

數學教學從數學知識的形態上進行區分，大體可分為數學概念的教學、數學命題的教學和數學問題解決的教學三個部分。[1]數學概念作為數學知識的基礎，是學生數學學習的核心，數學概念的理解和掌握與學生數學知識技能的掌握、數學思考的啟發、解決數學問題能力以及數學情感態度的培養有著密切的聯系。數學概念的學習在小學階段尤為重要，然而，在實際小學數學概念的教學中卻存在一定的問題。

例如，在一節課題為“認識周長”的公開課上，教師設計了三個教學活動。

活動一：用筆描一描圖形的一周。

活動二：觀察以下三個圖形有“一周”嗎。

活動三：估一估哪個圖形的一周最長，然后量一量。

該教師設計了三個教學活動，試圖讓學生通過親自描一描、看一看、量一量等一系列的學習活動，感受平面圖形的周長，了解只有封閉圖形才有周長以及規則與不規則圖形周長的測量方法。本節課的學習目標是“認識周長”，可是關于什么是周長，學生并沒有深入的理解，只能根據教科書提供的周長的概念定義得知：封閉圖形一周的長度叫作周長。那么什么叫作“一周”呢？事實上，教師并沒有對周長的概念進行解讀與剖析，學生對周長概念的掌握也只是停留在“一周”上。

教科書是教師教學過程中主要的依據和參考材料，也是學生學習知識的載體。教科書中數學概念的定義對于師生之間學習活動的展開有著重大的影響。通過整理人教版教科書中的概念定義發現：教科書中的概念定義雖然能夠明確指出概念的本質，但是另一方面也因其高度的概括性不利于學生的理解與掌握。

二、詞典與教科書的結合

（一）詞典與教科書的關系

教科書是教師組織教學和學生展開學習的主要參考資料，詞典作為人們在實際生活中普遍應用的工具書之一，給人們的生活和學習帶來便利。事實上，教科書與詞典之間有著緊密的聯系，兩者在概念定義方面有同也有異。兩者的相同之處在于，教科書與詞典都對概念進行了解釋說明，都有助于人們對概念的理解與解讀。與此同時，兩者也存在差異，首先，教科書與詞典的用處有所不同。教科書主要是供學生和教師使用，是用于教師教學與學生學習的工具書。而使用詞典的人除了學生還有各行各業的工作者等其他社會人士，詞典的使用無論對于學習和工作都大有裨益。其次，是對于概念的定義，教科書中的數學概念是反映數學研究對象及其決定性屬性的思維形式，[2]是對一類數學研究對象的本質屬性以及它們之間關系的高度概括。而詞典作為人們學習和工作必不可少的工具書之一，在對詞語的概念定義進行解釋的同時，還會對其意義或者用法進行解釋說明，這些都能夠幫助學生更好地理解數學概念。

（二）教科書與詞典結合使用的好處

1.幫助學生更精確地理解數學概念

《數學辭海（第六卷）》[3]中指出數學概念的學習是數學學習的基本內容之一，主要包括以下三點：

（1）要透徹理解數學概念，就是說要咬文嚼字、逐字逐句地推敲。

（2）要注意概念隨著數學的發展而拓展，給予它新的定義。

（3）注意使用概念解題，在使用中加深理解。

數學概念是對某一類事物特征和本質的高度總結，是由語句組成，而語句又是由一個個詞語組成，那么對數學概念的剖析與理解就需要適當的“字斟句酌”，詞典作為高權威性工具書之一，其合理使用對學生數學概念的理解有著積極的影響。

2.有效地增加學生的學習活動

詞典的有效使用不僅能夠幫助學生更好地理解數學概念，還可以適當地增加學生的學習活動，把“以教為主”的課堂教學變為“以學為主”的課堂教學，實現教與學的易位，打造“變教為學”理念的理想課堂：“讓每一位學生受到關注，讓每一位學生都有活動，讓每一位學生都有機會”，[4]最終實現“讓每一位學生獲得發展”的目標，這樣的數學課堂對于學生來說毫無疑問是有益的。

以“周長”的教學為例，詞典中“周長”的定義是“周長即圓、橢圓或其他封閉圖形的周界的長度”。因此學生在理解“什么是周長”之前，首先要知道什么叫作“周界”。根據詞典中的釋義，所謂“界”就是指：“邊境，一個區域的邊限，常用來表示兩個地區分界的線；某些事物的邊緣；盡頭處，限度。”那么對于一個封閉圖形來說，可以把封閉曲線圍成的部分叫作內部，其余的部分叫作外部，那么內部和外部之間的界限就叫作這個封閉圖形的周長（如圖1所示）。

為了將“界”形象化，教師可以在設計教學時結合《西游記》中孫悟空為了保護唐僧而畫的一個圓圈輔助學生理解，這里的“界”其實就是圓圈的周長。這樣的教學設計不僅能夠激發學生的學習興趣，而且能夠將“界”“周長”現實化，這種將抽象的幾何知識具體化、現實化的教學模式對于處于初級認知階段的小學生來說無疑是有利的。

對“界”概念的理解不僅有助于學生掌握“周長”的概念，還能夠幫助學生認識“直線”“射線”“線段”。在幾何領域，一維圖形的界是點；二維圖形的界是周長；三維圖形的界是表面積。線作為一維圖形，根據有無端點以及端點的個數被分為直線、射線和線段三種類型。根據詞典中“界”的第三種釋義“盡頭處，限度”來進行理解，直線沒有端點，相當于沒有盡頭，因此可以向兩端任意的無限延長；射線只有一個端點，那么射線便可以向“無界”，也就是沒有端點的方向無限延長；而線段有兩個端點，兩邊都有“界”，因此是無法無限延長的。

三、“平行”概念的“變教為學”

相交與平行是同一平面內兩條直線的兩種位置關系，正確認識“平行”的概念，不僅對理解平行四邊形、梯形等平面圖形起著至關重要的作用，小學數學立體幾何、平移等數學知識的掌握同樣離不開“平行”。教科書中將平行定義為：在同一平面不相交的兩條直線叫作平行線，也可以說這兩條直線互相平行。即平行是通過是否相交來進行判定的。

如圖3所示，經過延長之后的兩條不相交的直線就一定平行嗎？除了延長之外是否存在其他的方法可以簡便準確地判定兩條直線是否平行？

（一）“距離”與“平行”

事實上，詞典中“平行”的概念定義是：兩條線或者兩個平面之間的距離相等，始終不相交。如果可以結合詞典中給出的“平行”定義，學生便可以通過測量兩條直線之間的垂線段也就是“距離”來判斷兩條直線是否平行，而不是僅僅根據所謂的“無限延長”或者直接觀察去判斷平行。如此一來，學生對于平行的概念便有了更加準確、深入的認識，與此同時也深刻地感受到數學學科的嚴謹性與科學性。

值得強調的是，對于平行線的學習，要求學生不僅要掌握平行線的概念，了解平行線的性質，還需要掌握平行線的畫法，這樣的話僅憑“同一平面內，兩條直線不相交”這一概念去畫平行線明顯是不準確的。事實上，在學生畫平行線的時候就已經運用到“距離恒等的兩條直線互相平行”這一定義了。

如圖4所示，蘇教版教科書中給出的平行線的畫法實際上就是根據“兩條直線間距離相等，兩直線平行”來畫平行線的，如果學生在學習平行的概念時對詞典給出的平行的定義有所了解，那么根據教科書與詞典的結合使用，學生無論是對平行的概念定義還是平行線的畫法都能夠很好地掌握了。

事實上，早在古代的《墨經》中便曾指出：“平，等高也”。[5]以地平面為基準，如果一條直線到地面的距離恒相等，那么便可以斷定這條直線與地面平行。而在現實生活中經常用來衡量物體質量的儀器——天平，判斷兩端物體質量是否相等的依據就是觀察天平的橫梁是否與水平面平行，也就是橫梁兩端到平面的距離是否相等（如圖5）。除此之外，著名的捷克教育家Comenius在其著作《Geometria》中給出的平行線的畫法如圖6所示，已有直線AB，分別以A、B兩點為圓心，定長為半徑畫半圓，那么兩個半圓的切線CD平行于AB。若連接AC、BD便可以發現，AC、BD的長度即兩個半圓的半徑，而兩個半圓的半徑是相等的，即AC=BD，因此根據兩條直線間距離相等，兩直線平行，得出AB與CD互相平行。

可見，“距離”的學習與學生理解“平行”的概念有著緊密的聯系。

（二）平行的教學設計

“距離”的學習有助于學生更好地理解平行，而“距離”作為兩條直線之間的垂線段，是在“垂直”的基礎上進行教學的，因此，在學習平行之前應該將“垂直”與“距離”的教學編排在先，因為垂直可以通過測量相交的角的度數進行判定，是可度量的，學生在掌握“垂直”與“距離”的概念之后便可以通過測量兩條直線之間的距離是否相等對平行進行判定，使得平行也具有了可度量性，有助于學生更加準確地掌握平行的概念。

教學活動要根據知識屬性進行設計，數學課程中知識的屬性有兩種：發現（discover）和發明（invention），知識屬性不同，學習的方式自然也存在差異。發現過程的核心環節是“觀察與比較”，“發明”的過程重在“需求與創造”。[7]數學概念是對一類事物本質屬性的高度概括，其知識屬性是一種“發明”，因此，學習數學概念首先要感受需求，然后讓學生經歷自主創造的過程，從而掌握數學概念。

任何人學習任何知識都不可能“看見就會，聽見就懂”。就一節課的學習過程來說，應當是“感知、思考、交流”等環節的“循環往復，螺旋上升”的過程。[8]首先，學習過程起始階段的“感知”實際上就是感受需求，從而引發學生的學習動機，讓學生愿意去學。然后，學生具有了學習動機便會主動進行思考，從而嘗試通過各種方法解決問題。學生在思考問題、解決問題之后便可以與同伴或者師生之間進行交流。需要注意的是，在交流的過程中要尊重每個學生的意見，然后就目前的疑惑繼續進行“感知—思考—交流”的學習過程，直至問題得以解決。

“認識平行”這節課的教學設計，實際上引導學生經歷三次“感知—思考—交流”這樣的學習過程，最終得以全面的認知“平行”。

第一次“感知—思考—交流”：觀察生活中“不相交”的現象，通過認知沖突引出對“不相交”的位置關系的思考。此前學生已經得知同一平面內的兩條直線存在相交與不相交的兩種位置關系，當兩條直線相交夾角為90°時，兩條直線互相垂直，那么當兩條直線不相交時，又該如何描述這種位置關系呢？學生可以自由地對其進行定義，各抒己見。但是，數學作為一門科學嚴謹的學科，數學知識的特點是其通用、精確、簡約的科學語言。[9]因此需要統一命名這種位置關系，從而引發了第二次“感知—思考—交流”的過程。

第二次“感知—思考—交流”：學生通過仔細觀察這種不相交的位置關系，從而發現這種位置關系的特點，即沒有交點而且兩直線之間的距離相等，結合《墨經》中的“平，等高也”以及生活中常見的天平，將這種不相交的位置關系叫作“平行”。

第三次“感知—思考—交流”：對平行概念的深入理解，學習畫平行線。根據目前對“平行”的理解，判斷下圖中的兩條直線是否平行。

學生可能會通過延長兩條直線觀察是否相交來進行判定，但是需要延長很長的一段距離。此時應鼓勵學生思考：有沒有其他的方法可以迅速準確地判斷這兩條直線是否平行。學生帶著問題查詢詞典中定義的“平行”的概念，獨立思考、理解詞典中“平行”的概念定義然后進行組內交流，根據詞典中給出的定義驗證這兩條直線是否平行。最后根據對“平行”的完整的認識動手畫一組平行線，同學之間互相交流畫法，說說為什么這么畫。通過判定兩直線是否平行以及動手畫平行線的活動再次鞏固對“平行”概念的理解，最終掌握“平行”這一數學知識。

數學概念的學習是數學學習的基礎，學生對數學概念的理解至關重要。在實際教學中，詞典的合理使用對于數學概念的教學有著積極的輔助作用，不僅能夠幫助學生理解數學概念，還可以使學生經歷自主學習、解決問題的過程，增加學生的學習活動，真正地讓學生去“學概念”而不是教師“教概念”。學生的學習取決于他自己做了什么，而不是教師做了什么，[10]在教學過程中，要讓“每個學生都有活動，每個學生都有機會，每個學生受到關注”，這樣才能使得“每個學生獲得發展”。因此，數學概念的“變教為學”是有必要的、有益的。

參考文獻：

[1] 張英伯，曹一鳴.數學教學論[M].北京：北京師范大學，2010.

[2] 《數學辭海》委員會.數學辭海（第六卷）[M].中國科學技術出版社，東南大學出版社，山西教育出版社，2002.

[3] 《數學辭海》委員會.數學辭海（第六卷）[M].中國科學技術出版社，東南大學出版社，山西教育出版社，2002.

[4] 郜舒竹.小學數學這樣教[M].上海：華東師范大學出版社，2015.

[5] 劉潔民.中國傳統數學中的平行線[J].自然科學史研究，1992（01）.

[6] Michael，Delaney.Drawing Parallel Lines：A Bohemian Approach[J].Mathematics in School，2006（11）.

[7] 郜舒竹.小學數學這樣教[M]上海：華東師范大學出版社，2015.

[8] 郜舒竹.“變教為學”需要螺旋上升的學習活動[J].教學月刊小學版（數學），2015（10）.

[9] 張奠宙，唐瑞芬，劉鴻坤.數學教育學[M].南昌：江西教育出版社，1991.

[10] 施良方.課程理論——課程的基礎、原理與問題[M].北京：教育科學出版社，1996.