《正弦函數、余弦函數的性質之周期性》說課稿

吳婷

【摘 要】《正弦函數、余弦函數的性質之周期性》這節課，我主要從教材分析、學情分析、教學目標、教法學法、教學過程、板書設計和設計分析七個方面進行說課，其中教學過程是最重要的環節。這節課以新課標理念為指導，充分發揮學生的主觀能動性，培養學生的觀察、分析、抽象、概括的能力，滲透建模、數形結合、由特殊到一般、類比等數學思想方法。同時，還培養了學生的六大核心素養之一——抽象素養。本節課使用的幾何畫板，也為學生理解這節課起了很好的作用。

【關鍵詞】正弦函數；余弦函數；周期性；抽象

一、教材分析

教材是新課程標準的具體化，是進行課堂教學設計的藍本，是教師教、學生學的具體材料，要把握好教材，落實教學目標，必須準確理解課程標準。因此我在認真研讀課程標準的基礎上從教材的地位與作用、教材重點與難點兩個方面展開我對教材的分析。

1.教材的地位與作用

本課選自人教A版數學必修4第一章第4節第2小節第一課時，該課時主要學習函數的周期性。

這節課是在學習了正、余弦函數圖像以及三角函數誘導公式之后，對三角函數的又一重要探討。周期性，是對函數性質的一個重要補充，又是研究三角函數其它性質的根本，所以本課既是前期知識的發展，又是后續知識的基礎，起著承前啟后的作用。

從思想方法上講，這節課的教學過程中還滲透了建模、數形結合、由特殊到一般、類比等數學思想方法。

2.教材的重點與難點

根據新課標的要求，我確定本課的重點為，周期函數的定義和正、余弦函數的周期性；難點為：對周期函數概念的理解和求函數的周期。

二、學情分析

從學生的知識儲備上看：學生已經學習了正、余弦函數的圖像和三角函數的誘導公式，這為學習本課做好了知識上的準備。

從學生思維特點來看：學生具備了一定的形象思維和抽象思維，但還需要進一步加強。

三、教學目標

在充分把握新課程標準的要求，教學內容和教學對象的基本情況的基礎上，我制定如下教學目標：

1.知識與技能

準理解周期函數的概念和正弦函數、余弦函數的周期性，會求一個函數的周期。

2.過程與方法

在概念形成與探究的過程中，培養學生觀察、分析、抽象、概括的能力和抽象素養，滲透建模、數形結合、由特殊到一般、類比等數學思想方法。

3.情感、態度與價值觀

在獲取知識的過程中，讓學生感受數學來源于生活，又回歸于生活，體會數學的應用價值；是學生體會獲取知識后成功的喜悅，培養學生的學習興趣，養成主動探究的習慣。

四、教法學法

1.教學方法

第斯多惠說過：“一個壞的老師奉送真理，一個好的老師則教人發現真理”。因此，我采用引導發現法與啟發探究法相結合的教學方法，啟發學生在探究的過程中發現真理，體會獲得成功的快樂。

2.學習方法

新課標中“倡導積極主動、勇于探索的學習方式”因此，我鼓勵他們采用自主探索、合作交流的學習方法，讓學生親身經歷知識的形成過程，最終掌握良好的學習方法和學習習慣。

五、教學過程

為了達到預期的教學目標，我設計了以下五個環節。

環節1：創設情境，導入新課

教師用多媒體向同學們展示情境1、情境2. 引導學生發現它們的變化周期，使學生對周期有初步的認識。再讓學生進入情境3，說一說。

情境1：四季變化的圖片。

情景2：月亮圓缺現象，即一個月的月亮圖形。

情境3：鼓勵學生列舉類似的周而復始的現象。 緊接著，說明這種現象是周期性。

設計思路： 皮亞杰曾說：沒有一個行為模式不含有情感因素作為動機。這樣的設計不僅激發了學生的學習興趣，還使學生對周期有一個初步的認識。

師：數學源于生活，但高于生活，數學是自然規律的高度概括與抽象。那么，我們用數學語言如何刻畫周期性？

設計思路：由生活中的自然現象自然過渡到數學課堂中，使學生感受到數學源于生活。

環節2：觀察分析，形成概念

問題1：觀察正弦函數、余弦函數的圖像，指出它的定義域和值域分別是什么？

設計思路：學生們容易想到正、余弦函數就是周期函數的代表。首先，帶領學生回顧其圖像，得到正弦函數、余弦函數的定義域和值域，為本節課的難點做鋪墊。

問題2：正弦函數圖像有何規律？其本質是什么？

設計思路：“教學過程是一種提出問題和解決問題的持續不斷的活動，思維永遠是從問題開始。”留給學生充分的時間，進行小組討論，之后請小組代表匯報結果。學生可以得到該圖像是以2π、4π等為單位的周而復始的變化。但對于其本質，部分同學難以表達。

問題3：觀察下面的圖形和三組點，分析并總結這幾組點有什么共同特征？

設計思路：對于正弦函數圖像規律的本質，一些同學難以理解。我以2π為周期為例，化抽象為形象，幫助學生理解周期函數的本質，為概念形成打下良好的基礎。讓學生觀察幾組特殊點，分析共同屬性，同學們經過交流，抽象得到其本質。

問題4：你能將正弦函數的周期性推廣到一般函數，得到周期函數的定義么？

定義：對于函數f（x），如果存在一個非零常數T，使得當X取定義域內的每一個值時，都有f（x+T）=f（x），那么f（x）就叫周期函數。非零常數T叫做這個函數的周期。

設計思路：趁熱打鐵，啟發同學們將它推廣到一般函數，在小組中交流后，形成周期函數的概念。這樣的設計有利于培養學生觀察、分析、抽象概括的能力，培養學生的六大核心素養之一——抽象素養，同時，進一步滲透數形結合的思想方法。

問題5：一個函數的周期是唯一的么？其周期中最小的正數是多少？

生：不是唯一的，例如正弦函數的周期有2π，4π，6π…，最小正數是2π。

此時，我便給出最小正周期的概念：如果在周期函數f（x）的所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數就叫做f（x）的最小正周期（如果不加特別說明，周期一般都是指函數的最小正周期）。

設計意圖：直接給出最小正周期的概念，以概念同化的形式讓學生學習此概念，擴大了學生原有的認知結構。

問題6：是不是每一個周期函數都有最小正周期呢？

生：常函數f（x）=c沒有最小正周期。

設計思路：學生通過對已學的函數進行討論，得到常函數沒有最小正周期。

問題7：我們已經基本掌握了正弦函數的周期性，通過類比的方法，你能得到余弦函數的周期性么？

師：正弦函數是周期函數，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。

生：余弦函數是周期函數，2kπ（k∈Z，k≠0）都是它的周期，最小正周期是2π。

設計思路：學生通過類比的方法，進行知識性的小結，再次理解函數的周期性。

環節3：合作探究，深入理解

探究1：用定義法求下列函數的周期。

設計思路：本環節是這節課的難點。我采用由一般到特殊的方法，先給出一個例題，請同學們獨立完成。本題既是對周期函數定義的考察，又是為探究正余弦型函數周期公式做鋪墊，起著承上啟下的作用。我將對一二題進行分析，首先看第一題，觀察f（x）的形式，由正弦函數的周期為2π得到f（x+T）的形式，T既是此函數的周期。再看第二題，需要將2x看成一個整體，同理得到其周期周期。通過對前兩題的分析，讓同學們對第三題進行整理、分析、交流、展示。

探究2：你能從探究1的解題過程中，猜想出y=Asin（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω?0）的周期與解析式里的哪些量有關？

設計思路：同學們在小組內交流后發現：（1）ω=1，T=2π；（2）ω=，T=π ，得到函數的周期僅與ω的值有關，并猜想得到周期公式 。數學是抽象的，為了讓學生形象感知，我將在幾何畫板中，通過改變A、W、Q量，驗證此猜想的一般性。同時，數學也是嚴謹的，學生類比探究1的第（3）題的證明演繹推理得到該函數周期公式。同理，得到余弦型函數周期公式。

環節4：運用新知，鞏固提升

練習1：求函數 的周期。

變式：求函數 的周期。

練習2：若鐘擺的高度h（mm）與時間t（s）之間的函數關系如圖所示.

（1）求該函數的周期；

（2）求t=10s時鐘擺的高度。

設計思路：學生知識的掌握是通過“學得”和“習得”而來的，所以我給出了兩道練習題。練習1是基本型的，直接利用公式，目的是強化學生對公式的理解，變式是對公式的靈活運用，需要先應用誘導公式。練習2是一道實際應用題，不僅考察了學生對周期函數的理解，還體現了數學的應用價值。

環節5：溫故反思，任務后延

1.溫顧反思

（1）本節課你學習了哪些知識？

（2）本節課你學習了哪些思想方法？

設計思路：我以學生為主體歸納本節所學知識和思想方法。目的是幫助學生建構知識體系，深化認知結構。

2.任務后延

必做題：課本P36：練習1、練習2

選做題：你認為求函數y=Asin（ωx+φ）（x∈R）和y=Acos（ωx+φ）（x∈R）（其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω?0）的方法能否推廣到一般函數的周期上去？即命題：

“如果函數f（x）的周期是T，那么函數y=f（x）的周期是 ”是否成立？

設計思路：針對學生差異我設計了必做題和選做題，這樣使人人都學數學，不同的人在數學上得到不同的發展。

六、板書設計

七、設計分析

本課在“教師為主導，學生為主體”的教學思想的指導下，以周期函數概念的形成，正弦函數、余弦函數的周期性，正弦型、余弦型函數周期公式作為明線，讓學生由感性認識上升到理性認識，感受其應用價值。在教學當中，我還將通過學生的課堂反饋及時調整自己的教學內容和方法，使自己的教更好的服務于學生的學。

參考文獻：

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