有關高中數學數列專題的分析

安家瑞

摘要：數學學習一直是我們高中學習中的一個難點，因為我們不僅需要復習初中數學知識，還需要學習高等數學的基礎課程，所以這是一個很重要的學習階段，在這一個階段中知識扎實，基礎穩固的高中生在進入大學之后學習高等數學也會很輕松。高中數學作為一個承上啟下的過渡階段，包含了很多的專題模塊，數列、函數、幾何方程等等，所以這不僅成為了老師教學過程中的一個難點，也是我們在學習過程中需要克服的難題。

關鍵詞：高中；數學；數列；專題

中圖分類號：G634文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2016）03-0051-01

何為數列，數列就是按照一定的次序來排列的一串數字，其本質是一種特殊的函數，也有著定義域和值域。但是數列在定義域和值域方面與函數有著一定的差異，因此在特定的情況下，數列可以被看作為一個定義域是正整數集N*的函數。數列是高中數學中比較重要的基礎知識技能，在高考的試題中占據著比較高的百分比。數列也是函數概念的延伸和繼續，其客觀規律可以通過特定的數學模型來表達，所以數列也被稱為特殊的函數，是處理數學問題時不可缺少的一種數學模型。我們在學習數列時可以借助一定的數學模型來將繁雜的問題系統化和簡單化，在一定的程度上降低問題的難度。

一、高中數學中數列專題的概述

數列在高考考題中考查的內容是有固定范圍的，一般來說會分為三個方面：第一、用等差數列或者是等比數列的概念、性質、通用公式和求和公式來對數列求解；第二、等比數列或者是等差數列問題的判斷與證明；第三、數列和其它數學知識相結合的綜合解答題，比如數列和不等式的、數列和函數的，這是高考試題中最常見的一種題型。

高中數學“數列”專題是以數列問題為核心教學內容的綜合，主要包括的是數列的概念和表達方法、等差數列問題的處理辦法、等比數列問題的處理辦法等內容。數列有著很廣泛的應用，不僅可以提高我們的邏輯思維能力和抽象思維能力，改善我們的歸納總結能力，而且可以讓我們將所學到的數列知識和實際生活聯系在一起，從根本上改善我們的學習實踐狀況，從而為學習效率的提升打下堅實的基礎。

數列還可以使我們進一步的了解函數的連續性和離散型，提升我們對函數的認識，對我們今后的學習和發展有著重要的作用。老師在教授“數列”專題的內容時，需要幫助高中生更好的把握解題方法，使其對學到的知識全面的進行應用，實現數列與函數的結合。

二、數列專題的重點歸納

1、數列定義中“數的有序性”是其中的靈魂，但是要注意分辨數列中的項與數集元素的異同。因此在研究數列的解題方法時要注意函數方法的普遍性和數列方法的特殊性。

2、數列{an}前n項和Sn與通項an的關系表達式為：an=S1，n=1

Sn-Sn-1，n≥2

3、求通項常用方法

①作新數列法作等差數列與等比數列

②累差疊加法最基本形式是：

an=（an-an-1 ）+ （an-1+an-2） +…+ （a2-a1） + a1

anan-1=anan-1·an-1an-2…a2a1·a1

③ 歸納、猜想法

④ 遞推數列：an=an-1+f（n）anan-1=f（n）an=can-1+d

4、數列前n項和常用求法

①重要公式：1+2+…+n=12n（n+1），12+22+…+n2=16n（n+1）（2n+1）

13+23+…+n3=（1+2+…+n）2=14n2（n+1）2

② 等差數列中Sm+n=Sm+Sn+mnd，等比數列中Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn

③ 裂項求和：將數列的通項分成兩個式子的代數和，即an=f（n+1）-f（n），然后累加時抵消中間的許多項應掌握以下常見的裂項：

1n（n+1）=1n-1n+1，n·n！=（n+1）！-n！，1sin2α=ctgα-ctg2α，Cnn-1=Cnr+1-Crn，1（n+1）！=1n！-1（n+1）！等

④ 錯項相消法和并項求和法

三、例題解析

1、 有關數列的概念性例題

數列的概念性題是歷年高考試題中不可缺少的一種題型，不僅因為這是基礎題，也因為這是解決其他數列題型的基礎，包括數列中的等比數列、等差數列和兩種數列的求和等方面，所以這是我們一定要復習的數列題目。

例：已知等差數列{an}的通項公式為a4=5，a3=4，求a9等于多少。

解析：從題目中可以看出，這是一個數列基礎定義的題型，這道題目中主要考查我們對等差數列的概念是否已經掌握牢固，解題思路也很簡單，直接套用等差數列的概念公式an=a1+（n-1）d即可，通過題目中給出的已知條件a4=5，a3=4可以得出關于a1和d的二元一次方程組，繼而得出a9的答案。這是一種最簡單、基礎的數列題型，單獨出題的可能性在高考中不是很大，但是卻會融入到其他的題型中，尤其是在一些綜合題里面，對我們的解題效率的提升有著非常重要的作用。

2、 有關數列的證明題

數列的證明是高考中除卻綜合題型最重要的一種題目了，它主要考查了我們對數列遞推關系的掌握情況，考查了我們對數列概念的掌握和應用情況，還考查了數列和不等式結合求和的知識，主要是為鍛煉我們的分析轉化能力和推理論證能力。

例：已知數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1，證明{an+12}是等比數列。

解析：從題目中可以看出這是一道知道特定的條件求數列公式的題目，主要運用的是等比數列的概念求解，有題目的條件“數列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1”可以得知an+1+12=3（an+12），也得以得出a1+12=112，所以（an+12）是一個首項為112，公比數為3的等比數列。

這種題型主要就是考查我們對數列定義的靈活運用靈力和邏輯推理能力，只要基本知識牢固，思維轉換能力活躍，做此種類型的題目并不困難。

除了上述的兩種數列題型之外，還有一種數列與函數相結合的題型。前面也有說，數列本身就是一種特殊的函數，有效地將數列和函數相結合可以提高我們對知識的綜合應用能力和解題能力，但是這種題型往往是很難解答的，所以是高中數學考試中的一大難點。在這一種類型題目求解的時候，我們需要把所學的知識融會貫通，并且靈活運用到解題思路之中，使我們的解題能力得到了一定的提升。

結語：

當然不管是哪種題型，都是需要我們在進行數列專題的學習時打下堅實的基礎，所以在進行高中數學的專項練習時，我們要充分的發揮自身的能動性，學會自主分析題目。而且我們在學習過程中要不斷提高知識水平、解題能力，學會發散思維，把知識點融會貫通，形成系統的數學知識體系。

（作者單位：聊城市第三中學）

參考文獻：

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