淺談三垂線定理及其應用

鄒玲

【摘要】 “三垂線定理”是立體幾何中的重要定理.運用三垂線定理證明空間線面垂直與線線垂直的思考方法，對于培養學生空間想象力和邏輯思維能力，有著更加重要而獨到的作用.本文在解讀三垂線定理內涵特征的基礎上，列舉了三垂線定理的應用.

【關鍵詞】 三垂線定理；應用

三垂線定理因其聯系著一系列主要概念，包括平面的垂線、斜線及斜線在平面內的射影等，而且其證明中包含著較為典型的線面垂直與線線垂直證法，而成為立體幾何中的一個很重要的定理.同時在解決空間的角和距離及其直線與直線垂直問題時，應用三垂線定理及其逆定理，對于培養學生空間想象力和邏輯思維能力，有著更加重要而獨到的作用.因此在立體幾何教學中，必須引導學生正確理解和掌握三垂線定理，充分發揮三垂線定理在解決空間圖形問題的作用.

一、三垂線定理的解讀

三垂線定理是在線面垂直基礎上來研究直線間垂直關系的重要定理，不僅闡明了平面的垂線、斜線、斜線在平面內的射影和平面內的一條直線的某種位置關系的內在聯系，并有效溝通了線線關系和線面關系.

1.三垂線定理的本質特征

（1）定理描述

三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

三垂線定理的逆定理：在平面內一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內的射影垂直.

（2）圖形模型

圖 1 （如圖1）設PO，PA分別是平面α的垂線、斜線，OA是PA在平面α內的射影，aα，且a⊥OA，則a⊥PA.

（3）本質特征

垂線定理及其逆定理描述的是斜線、射影和平面內直線之間的垂直關系，實質是空間兩條直線垂直的判定，把空間垂直轉化為相交垂直.斜線及其斜線在平面內的射影與這個平面內的直線的垂直關系不變，是三垂線定理及其逆定理的本質特征.

2.構成三垂線定理的元素

從圖一可以看出，三垂線定理的圖形是由“四線一面”五個元素組成，即垂線PO、斜線PA、射影OA、面內一線直線a和平面α.三垂線定理描述的是三種垂直關系：直線和平面垂直，平面內的一條直線與斜線在該平面的射影垂直，這條直線和斜線垂直，這條直線與斜線可能相交，也可能是異面直線.

二、三垂線定理的應用

作為一種較為典型的證題方法，三垂線定理及其逆定理在解題中有著廣泛的應用.在應用三垂線定理時，既要注意三垂線定理圖形的多樣性，又要注意豎直或傾斜平面上三垂線定理的應用.按照“一定平面，二定垂線，三找斜線，射影就出現”的原則去確認圖形，得出所證的垂直關系，其關鍵是找平面的垂線和斜線在平面內的射影.

1.空間的角和距離問題中的應用

∴點P到DC，BD的距離分別為4 13 ， 4 13 901 .

題意圖形中如果有表示其距離的線段時，只須證明其確為表示距離的線段，再進行計算.如果沒有明顯表示距離的線段，就要先作出，并用三垂線定理加以證明，再計算.

2.在垂直問題中的應用

三垂線定理及逆定理涉及的是直線與直線的垂直問題，因為直線垂直問題可推出線面垂直問題，進而可導出面面垂直.所以在線面垂直、面面垂直問題中也常用到三垂線定理.因此，在解決垂直問題時，應首先考慮是否能使用三垂線定理.

總之，三垂線定理及逆定理是證明線線垂直，點線距、點面距、線面角的計算及二面角的形成中非常有效的工具，在解決空間圖形問題中充分發揮三垂線定理的作用，不僅有助于學生理解掌握定理，而且對于培養發展空間想象能力、推理論證能力有著積極的意義.

【參考文獻】

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