芝諾悖論的中學理解

徐水龍

悖論是人的直覺與日常經驗相矛盾的數學結論.古希臘著名的哲學家兼數學家芝諾曾提出四個著名的數學悖論，給人們帶來了極大的困惑，但也促進了希臘幾何學方法走向嚴謹.它對幾何學的發展、數學思想的發展，乃至哲學上時空觀念的發展有深遠的影響.如何向高中學生解釋芝諾悖論，下面簡單先介紹一下芝諾的四個悖論：

一、不運動說

物體永遠不可由甲地運動到乙地.運動著的物體要達到終點，首先必須經過路途的一半，為此它又必須先走完這一半的一半，依此類推，以至無窮.假如承認有運動，這運動著的物體連一個點也不能越過，因為你不能在有限的時間內越過無窮的點.

二、運動員跑不過烏龜說

阿基里斯（在希臘神話中善于跑步的人）永遠追不上烏龜.因為，他要追上龜，他首先必須到達烏龜出發的地點.這時候烏龜向前走了一段路.于是阿基里斯又必須趕上這段路，而烏龜又會向前走了一段路.他總是愈追愈近，但是始終追不上它.

三、飛矢靜止說

飛著的箭是靜止的.因為，飛著的箭在不同的時間處于不同的位置，甲時在A點，乙時在B點，在連續的時間中，箭相繼地靜止在一系列的點上.既然是在某一點上，怎么能運動呢？運動實際上是一系列靜止的總和.那么它就不能動了.

四、一半等于全部說

一半的時間可以等于全部的時間.首先假設在操場上，在一瞬間（一個最小時間單位）里，相對于觀眾席A，列隊B、C將分別各向右和左移動一個距離單位.

◆◆◆◆觀眾席A

▲▲▲▲隊列B

隊列C

B、C兩個列隊開始移動，對B而言C移動了兩個距離單位.也就是，隊列既可以在一瞬間（一個最小時間單位）里移動一個距離單位，也可以在半個最小時間單位里移動一個距離單位，這就產生了半個時間單位等于一個時間單位的矛盾，因此隊列是移動不了的.

從本質上來說芝諾的四個悖論可分為三類，其中“不運動說”與“運動員跑不過烏龜說”的核心問題都是“有限的時間是否能一一接觸無窮個點”，本質相同.“飛矢靜止說”研究的是運動的概念.“一半等于全部說”研究的是位移的運算.

這四個悖論看上去非常有道理，但與現實的確存在很大矛盾，那么究竟錯在哪里呢？下面一一進行解釋.

首先，最容易解決的是第四個悖論.顯然，芝諾的錯誤在于否定相對位移.舉個例子，假設你坐在車上行駛了10公里，而你相對于車來說是靜止的，難道10公里與0是一樣的嗎？同理，當B對A走了一段時間，則C對A也走了同一段時間，由于B與C反向，所以造成在同一段時間內相對位移增大一倍，因此“C的時間要比它用來越過A的時間長一倍”是錯誤的.

接著我們來解決“不動說”.顯然芝諾將運動的概念歸結為是沒有位移.因為所有的物體在瞬間都是沒有位移的，因此他否認運動的存在.好比我們給運動員跑步時拍照，拍出的照片人都是靜止不動的，但運動員在跑步過程中的確都保持著運動.學生容易理解的是運動要有速度，而問題正是出在速度的計算上，也就是平均速度的計算公式上.芝諾認為速度等于位移比上時間，如果位移為零速度即為零，但在瞬時時間間隔時間同樣為零，因此速度為0除以0，沒有意義.我們知道，瞬時速度的計算公式為： v= s t ，s為物體在時間間隔t內所通過的位移，它是位移關于時間的導數，是一個極限值，因此就不能割斷某一瞬間與前后時間的關系，芝諾在這里采用的方法是把時間和空間分割成不可再分的小點，肯定了這種無限的離散性，但在時間上又不承認“流逝性”，在究竟上又不承認“統一性”，于是錯誤就不可避免了.

歸根結底，首先芝諾以形而上學的觀點看問題，導致其否認運動；其次，芝諾的錯誤在于不承認無限是客觀存在的，而用一系列有限的過程來逼近無限，結果自然有所偏差.這個內容涉及到“實無限”與“潛無限”的辯證關系，不是中學生所能理解的.但我們用高中數學的觀點已經能夠看明白芝諾悖論的錯誤所在，并能舉出具體事例反駁，同時在反駁的過程中加深了對相對位移、導數、無窮數列等基本概念的理解，達到了教學的目的.