我和學生有個“約定”

鄭思思

【摘要】 特殊值解決含參數函數是奇（偶）函數問題是學生在學習了函數的奇偶性后必然會碰到的一類題目，而此類題目也是高考中經常出現的題型.學生在解題中卻經常會出現利用不等價的轉換來進行解題這樣的錯誤.

【關鍵詞】 奇（偶）函數；教學；嚴密性

例如用f（0）=0來代替函數是一個奇函數等.對于這樣的錯誤，作為教師的我們除了發出“講了n遍了，還是錯錯錯”這樣的抱怨外，是不是也該反省自己的教學，與學生統一戰線，一起找尋問題的解決方案？答案是肯定的.本文就是我與學生在碰到問題后，產生爭議，通過列舉反例達成共識，最后尋找解決方法中展開的，從中也給了我自己很好的教學啟示.

解法一便捷而不嚴密的特點在這兩個例題中暴露了出來.給學生強調了解題嚴密性，讓學生選擇解法二.對問題中的運算關鍵進行了點撥之后，我在第二天作業中放入了同類問題.經過這樣兩個反例的分析，兩個班共94人中做錯的僅3人（得到正確答案并過程嚴謹）.當我以為這個問題就這么被解決了的時候，卻在接下來的作業中發現，選擇解法一的人數多起來了，同學還是逐漸選擇了便利而欠缺嚴密性的解法.而且與此同時，在與其他老師關于這個問題的討論過程中也講到，其實很多題目甚至是大部分此類問題用f（0）=0來計算都是對的，那還有沒有必要完全摒棄解法一呢？

針對這一問題，我首先找了兩個班中選擇解法一的同學進行了個別訪談，摘錄如下：

師：有關這類題目，我們之前舉過兩個反例，你還有印象嗎？（將題目展示）

生1：哦，記得.

師：那你的作業中為何還是選擇了解法一呢？

生1：因為解法2太煩了，而且大部分題目好像用解法一算出來的都是對的.

師：那你認為“f（0）=0”和函數為奇函數是等價的嗎？

生1：好像不等價.

師：那既然不等價，為什么還用解法一呢？

生1：因為解法一計算簡單啊，而且幾乎85 % 的此類問題（不知道她怎么歸納出這個85 % 的）都可以這樣解決.

師：有關這類題目，我們之前舉過兩個反例，你還有印象嗎？（將題目展示）

生2：哦，記得，老師你講好之后我還重新去整理了.

師：那你的作業中為何還是選擇了解法一呢？

生2：您上次舉的兩個反例，我研究過了，其實反例1和反例2之所以用f（0）=0來算時沒有計算出正確答案是因為本身這個奇函數在x=0處沒有定義，但是作業中的那題我可以判斷出在x=0的地方一定是有定義的.

師：那你認為“f（0）=0”和函數為奇函數是等價的嗎？

生2：好像不等價.

師：那既然不等價，為什么還用解法一呢？

生2：作業中的那題我可以判斷出在x=0的地方一定是有定義的，所以f（0）一定等于0.

其他學生在訪談過程中的回答與上述兩名同學類似，不一一列舉.

結合學生所講以及與備課組老師的討論，我又重新開始思考.先回到之前所舉的兩個反例中，細審解法一出錯的原因，反例1中只算出了a=1主要原因是當a=-1時函數在x=0處無定義，所以無法計算出這個答案；反例2中沒有算出正確答案a=-1，究其原因也是當a=-1時，函數在x=0處沒有定義造成的（剛才那名同學的說法還有有點道理的）.但是如果再來反觀反例2的解法一，其實我們會發現用f（0）=0算出的值，此時函數在x=0處也有定義，但是還是不能滿足函數為奇函數的條件，而這個也正好應證了“f（0）=0”與“f（x）是奇函數”的不等價性，并且這個不等價性的說明已排除了“函數在x=0處沒有定義”這種特殊情況.

在做好了這一些準備后，我又重新拿著這些題目給學生們講了以上這些我的思考.最后提出了一個問題：那么在以后大家碰到這類問題時，會以什么樣的方式去進行解題呢？在師生共同的努力下，達成了一個約定，解決這類問題的一個約定.約定具體內容如下：

（1）拿到這類問題先判斷函數在x=0處是否有定義；若有，參看第2條，若無或不確定參看第3條；

（2）利用f（0）=0來算，但所得結果需要檢驗；

（3）利用f（-x）=-f（x）來進行計算，一般無須檢驗.

學生們都很開心，解數學題還可以按照約定來，挺新鮮.可是卻馬上又發現這個約定是有漏洞的.題目如下：

f（x）=log 1 2 1-ax x-1 是R上的奇函數，求a，b的值.

學生的解法大致如下：

解法一 考慮到函數在x=0時有定義，所以f（0）=0，可以先解得a=1，然后再利用f（-x）=-f（x）（比解法2中的運算量少）或f -1 =-f 1 （或者其他特殊值來算，運算量較小），然后進行檢驗，可得出最后答案a=1，b=e.

解法二 直接利用f（-x）=-f（x）即f（-x）+f（x）=0來算.將式子化簡后可得a=±1，而檢驗后可發現正確答案只有a=-1；因為當a=1時，f（x）=log 1 2 1-x x-1 ，對任意的x∈ R 均是沒有意義的.

題目做完講解后，學生就鬧開了花，吵著爭著“老師，你看我們定的約定不對了！怎么辦？”

怎么辦？改唄！于是師生共同又將約定改為了如下版本：

（1）拿到這類問題先判斷函數在x=0處是否有定義；若有，參看第2條，若無或不確定參看第3條；

（2）利用f（0）=0來算，但所得結果需要檢驗；

（3）利用f（-x）=-f（x）來進行計算，也需要檢驗，尤其是出現兩解時.

而在之后的解題中，大家又發現了一道此類問題，但又與眾不同：已知函數f（x）= a-ex b+ex+1 是 R 上的奇函數，求a，b的值.

此題的與眾不同在于題中有兩個參數a，b，若只用f（0）=0來計算只能算出一個值即a=1，若要繼續求b的值則需要再取一個特定值如f -1 =-f 1 （結果是需要檢驗的），或者將a=1代入f（-x）=-f（x）來進行計算.當然也有學生選擇的方法是直接用f（-x）=-f（x）來計算，但是后面的運算量很大，導致很多學生放棄此題；而一小部分堅持對式子化簡并得到結果a=1，b=e或a=-1，b=-e的同學有鮮少有人檢驗出a=-1，b=-e這組答案是錯誤的，因為此時函數的定義域不是 R .

針對這樣的情況，我們再次調整了約定內容：

（1）拿到這類問題先判斷函數在x=0處是否有定義；若有，參看第2條和第3條，若無或不確定參看第5條；

（2）若函數解析式中只含一個參數，則參看第3條；若函數解析式中含有兩個參數，則參看第4條；

（3）利用f（0）=0來算，但所得結果需要檢驗；

（4）借助f（0）=0和另一個特定值如f -1 =-f 1 結合求解，所得結果需檢驗；或者借助f（0）=0和f（-x）=-f（x）來求解；

（5）利用f（-x）=-f（x）來進行計算，也需要檢驗，尤其是出現兩解時.

后 記

這類問題無論是對高中數學教師還是對學生來講，都不陌生.學生在做題時一定會碰到此類問題，而教師就更不用說了.但是我在之前的教學中，雖然也了解學生解決此類問題時會出現的問題和錯誤，但都沒有認真地去對待，而是把學生的錯誤當作一種理所當然，并沒有去關注這問題和錯誤的背后所隱藏的原因.所以錯了講，講了再錯，錯了再講，……如此惡性循環，不光沒有解決問題，還加重了學生的負擔，著實不是種好的教學方法.我想我們的教育應該要更貼近學生，采取學生愿意的也能接受的方式來開展教學，減輕學生負擔的同時也把問題搞明白了，一舉兩得不是更好嗎？與此同時，教師也應在平時教學中關注學生運算化簡能力的培養和提高.

通過大半個學期與此類問題的戰斗，也對如何教學這類問題以及其他問題有了一個自己的認識，與大家分享，不當之處請指正.