把數學模型思想融入到線性代數教學中的思考

杜潤梅 郭明浩 孫瑤

【摘要】 線性代數在各學科，各領域中有著廣泛的應用，而線性代數的知識是枯燥，乏味的.我們分析了把數學模型的思想融入到線性代數教學中的重要意義，并列舉了兩個簡單實例.

【關鍵詞】 線性代數；數學模型；建模

隨著科學技術的快速發展，線性代數在各學科，各領域中的應用更為廣泛.線性代數是所有高校理工類專業及經管類專業中的一門非常重要的公共基礎課程之一，它具有較強的邏輯性、抽象性和實用性，它是學生學習其他專業課的基礎，也是學生用來解決一些實際問題的重要方法.然而，學生在學習線性代數的知識時，大多反映線性代數的知識枯燥，計算復雜，沒有興趣.因此，在線性代數教學中結合實際問題，把數學建模的思想融入到線性代數教學中，可以有效的激勵學生去學習線性代數，并能創造性地解決實際問題.

通過高等教育心理學的學習，我們都知道，學生在學習時，只有明確自己的學習目的，認識到學習的意義，才能產生學習的興趣，有強烈的學習動機.如果將數學建模的思想和方法融入到線性代數的日常教學中，能夠讓學生把理論知識和實際問題聯系起來，認識到所學知識的用途，不僅可以激發學生學習線性代數的興趣，而且可以調動學生使用線性代數的知識解決實際問題的積極性，培養學生解決實際問題的能力.把數學模型思想融入到線性代數教學中，不僅能幫助學生學習知識，理解知識，運用知識，對教師本身的業務能力也有提高.教師在教學時，不僅要具有扎實的理論知識功底，還需要具有解決實際問題的能力，這就迫使教師要查閱大量的資料，整理出適用的案例，不斷學習新知識，了解新技術，進而提高教學和科研能力.

下面我們介紹一些在線性代數教學中融入了數學模型思想的實例.

1.投入產出問題

設有n個部門，記一定時期內第i部門的總產出為xi，對第j部門的投入為xij，外部需求為di，則

xi=∑ n j=1 xij+di（i=1，2，…，n）. （1）

記直接消耗系數為aij，它表示第j部門的單位產出中對i部門的直接消耗，

aij=xij/xj，（i，j=1，2，…，n）.

記直接消耗系數矩陣A=（aij）n×n，產出向量 x =（x1，x2，…，xn）T，需求向量 d =（d1，d2，…，dn）T，則（1）式可寫為 x =A x + d .

若I-A可逆，則 x =（I-A）-1 d .

這是對矩陣乘法及其逆的應用.

2.公司采購問題

某公司計劃用Y元錢采購物品A，B，C，D，設每種物品單價分別為a1，a2，a3，a4元.他一共要買的數量為W個，請給該公司計劃一下能買到多少個物品A，B，C，D？

模型假設：公司購買的物品數量很大，數量的個數可視為連續變量.

模型建立：設該公司購買的物品A，B，C，D的數量分別為x1，x2，x3，x4個，則有方程組

a1x1+a2x2+a3x3+a4x4=Y，x1+x2+x3+x4=W.

由于此方程組未知數的個數大于方程的個數，因此該方程組有無窮多解.設Y=100，W=50，a1=1，a2=1，a3=2，a4=3，則可得方程組的解為

x1=-c1+c2，x2=c1，x3=50-2c2，x4=c2.

其中c1，c2為任意使得x1，x2，x3，x4為正整數的常數.

這是對線性方程組的應用.

除了我們前面所介紹的兩類模型，線性代數在很多其他數學模型中都有重要的應用.將數學建模思想融入到高等數學的線性代數教學過程中，不僅是為了使學生有興趣學習線性代數的知識，更是為了培養學生解決問題的能力.如何將數學建模思想更好地融入到大學數學教學中是我們大學數學教師應該認真思考的問題之一.

【參考文獻】

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