反例在數學中的作用與構造

李麗霞

摘 要：本文通過反例在數學中的作用與構造，通過命題正、反兩面想比較，從而更加正確的理解概念、命題以及相互關系來說明反例的作用及意義，并且講述了反例在數學的教學中的作用，利用反例，加強對基本概念、定理和規則的理解；利用反例，否定命題的正確性；利用反例，加深學生對命題內涵和外延的理解程度；善于利用反例，能幫助學生通過比較，建立鮮明的表象；反例能幫助學生否定謬論，糾正錯誤；善于利用反例能幫助學生進行研究性的學習；如何將構造反例這一方法廣泛應用，從而將反證法得到推廣。

關鍵詞：數學教學 反例 構造 研究 日常生活

在數學的研究中，構造反例去解決問題是非常重要的，它在數學研究及數學教學中有著重要的地位和作用，如果能在教學的過程中充分的去發揮反例的作用，那么對于提高教學的質量，對于培養學生的數學能力和提高學生的數學素養，都是非常有好處的。[1]

一、反例在數學中的作用與構造

1.反例在數學中的基本內容

（1）反例的含義

所謂的反例，通常來說就是用來說明一個命題不成立的例子，也就是符合命題的條件但是與命題的結論想矛盾的例子。

（2）反例在數學中的作用

數學的發展，其實就是一個不斷的提出問題，然后在解決問題的過程，通過不斷的提出和解決，得出一些新的理論，新的定理。而想要解決這些問題，主要還是由給出命題的證明或者構造反例來完成的。歐氏幾何的成立便離不開它的幫助了。

自從歐氏幾何成立以后，很多人都試圖證明平行公理，但都失敗了。而高斯、黎曼等杰出的數學家采用了銳角與鈍角的假設，徹底的推翻了“平行公理是可以證明的”這一猜想，使得將近兩千年的一大數學難題得到了解決，對幾何學乃至整個數學領域的發展作出了偉大的貢獻。像這樣的貢獻還有許多，如微積分理論中的“每一連續函數除了在去件內某些孤立點外都具有導數”等命題 ，都是通過構造反例才得以解決。

二、反例在數學教學中的作用

1.反例在教學中的應用

反例不僅能夠證明命題的真實性，在教學中也有著不可代替的位置。反例在教學中有很多作用，如評判學生對問題的回答，批改學生作業，都需要指出他的錯誤，而指出錯誤最有說服力的也就是舉出反例。[2]

（1）利用反例，加強對基本概念、定理和規則的理解

數學概念是空間形式的數量關系以及他們的本質屬性在人的腦海中的反映，也是數學知識的重要組成部分。對于數學概念的教學，我們不僅僅要運用正面的實例去引導學生形成概念，還要善于借助反例加深學生對概念本身的理解和再思考、再認識。在數學當中，有許多的概念定理和規則，想要接受這些抽象的東西，有時會很困難，很多的學生只會死記硬背那些定義，卻不知道那些概念的真正意思，這時，我們利用舉出反例，讓他們從側面去抓住概念的本質，往往效果非凡，還可一提高學生對知識的理解程度，從而去辨析。

（2）利用反例，否定命題的正確性

一個數學命題的成立，是經過了反反復復的證明，需要經過非常嚴格的邏輯證明，而否定一個命題，我們只需要判斷出它在某種情況下不成立即可，這是一種非常慣用的數學方法和證明手段，也是學生必須要認真去掌握的。

（3）利用反例，加深學生對命題內涵和外延的理解程度

許多定理、性質、公式、法則都有它成立的條件和適用的范圍。教學中如果不注意分析，不提供挑戰性素材，學生很容易便拋開條件，超越范圍，從而釀成錯誤。關于一些定理，許多教材書上一般都是先介紹定理，再給出證明，最后舉出滿足定理條件的正面例子。但這些方法會讓學生只理解到片面的定理，不能夠深入的去理解定理，這時我們便可以說出一些反例來更一步的說明這些定理的本質。

（4）善于利用反例，能幫助學生通過比較，建立鮮明的表象

在數學的教程過程中，如果只是單純的從正面給學生講解概念，學生可能會感覺到模糊，不能理解。為了能夠加深學生對所學的知識的理解，可以將抽象的東西，借助實物或者列舉反例，通過比較直觀的角度，提高他們的判斷能力，并且通過舉反例，也能十分簡潔的識別出錯誤，從而提高學習的效率。構造反例，可以讓學生加強思維訓練，慢慢培養出實事求是的優良學風。而且，常常能產生正確的解題技巧。

（5）反例能幫助學生否定謬論，糾正錯誤

學生在學習的過程中，經常會碰到一些通過類比推廣，或者憑主觀的想象得出的錯誤結論，并去應用它們，對于此類錯誤，如果能夠運用反例加以否定，更容易讓學生接受，并信服，也能夠加強學生對此類命題的印象。要說明一個結論的成立，需要很多的證明和正彌漫的論述，而想要推翻一個結論，只需要舉出一個反例，便可以得出答案。

（6）善于利用反例能幫助學生進行研究性的學習

學生認知的最大的特點就是直覺思維，它多以猜測為主。但是數學是非常嚴謹的學科，猜測到的偶然性是不可以代表驗證的必然性的。所以，教師需要引導學生進行科學的例證和推理。反例往往是推翻錯誤的命題最有效手段，從而進行研究性的學習。

（7）一些注意事項

在運用反例證明一些論題的時候，需要認真細致地去審題，如果發現和結論互相矛盾的方面有不止一種情況的時候，必須一一的去否定，不可以有任何的遺漏。還有在數學證明中，用到反例法證明命題的時候，并非從一開始就全部需要用到反證法，有時反證法只出現在一部分當中。

2.如何將構造反例這一方法廣泛應用

許多學生在初次接觸反證法時，認為它無課本可尋，會產生一種排斥的心理，加上剛開始學習反證法，例題也不多，需要用到的地方可能也很少，所以會忽略，不夠重視。然而，反證法卻是一種非常重要的證明方法，也是非常普遍的思維方式，比如筷子是直的，可是我們將它放入水中在看，我們會發現它變彎曲了，雖然是因為物理現象中的光在水中的折射導致的，但是它卻并不是真實的。通過這個例子，我們應該知道無論是從數學能力上的培養來說，還是從社會公民所必要的文化素質來看，學習反證法都是非常重要的。

三、總結

反例在數學研究及數學教學中有其重要的地位和作用，若能在教學中充分發揮反例的作用，對于提高教學質量，對于培養學生的數學能力和提高學生的數學素養，都是非常有幫助的。構造反例也需要發揮想象力和創造性。鼓勵學生著眼于發現和創新，自己提出問題，自己解決問題，這樣就能使構造和運用反例得到用武之地。不僅學習會深入得多，而且也能逐漸的培養學生開展數學研究的能力。

參考文獻：

[1]龔升.簡明微積分.人民教育出版社.1979

[2]張筑生.數學分析新講.北京大學出版社.1989