“如何認識高”的綜合解決方案

高子林

【摘 要】認識“高”，尤其是“在不同位置的底上作高”，是小學生的學習難點之一。學生已有的高的“前概念”不利于“科學概念”的建構，卻有合理的可以利用的成分。同時，被教材既重視又忽視的“垂線段”概念是高的“前概念”走向“科學概念”的橋梁和紐帶。因此充分利用“身高”這一前概念和“垂線段”這一“種子概念”，可以較好地解決“如何認識高”這一問題。

【關鍵詞】高 身高 垂線段 解決方案

認識“高”，尤其是“在不同位置的底上作高”，是小學生的學習難點之一。在小學生的經驗和認識（或者說前概念）中，“高”的形態都是豎直向上的，如“身高”“樹高”“樓高”；而向下的情況就變成了“深”，如“水深”“地下室深度”；水平情況就變成了“長”，如“床長”“木料長”。所以，學生已有的經驗和認識不利于建構科學的“高”的數學概念，卻有合理的可以利用的成分（如“身高”的概念）。筆者曾經所作的調查，也反映了這種現狀——24.4%的學生受身高、樹高的影響用“向上長”的線段來表示“高”；22.2%的學生用“最長”的線段來表示“高”；只有4.4%的學生用“垂線段”來表示“高”（課外學習所得）。

如何破解“認識高”的教學困境，提高“認識高”的學習效益呢？筆者力圖基于自己所學、所知和所經歷的，提出“如何認識高”的綜合解決方案。

一、任務分析

（一）從知識分布看問題

以人教版為代表的教材路徑基本是：認識直角→認識垂線→學習從直線外一點畫垂線→認識平行四邊形的高→認識梯形的高→認識三角形的高。

以北師大版為代表的教材邏輯基本是：認識直角→認識垂線→學習從直線外一點畫垂線→同課認識梯形的高、平行四邊形的高和三角形的高。

筆者雖然比較同意北師大版的做法，但也意識到：我們對學生的“高的前概念”還不夠重視，對“垂線段”知識在建立“高的科學概念”的作用方面的認識還不夠清晰。事實上，垂線段知識是高的“前概念”走向“科學概念”的橋梁和紐帶，是“種子概念”。所以，從邏輯的角度講，學習“三角形的高”應先于“梯形和平行四邊形的高”，如此安排將更加契合學生的認知經驗和發展需要。即“從直線外一點畫直線的垂線段”過渡到“從一個頂點畫對邊的垂線段（如三角形的高）”，再拓展到“從一邊上的一點畫對邊的垂線段（如梯形和平行四邊形的高）”。

（二）從主要概念看問題

概念一：從平行四邊形一條邊上的一點向對邊引一條垂線，這點和垂足之間的線段叫作平行四邊形的高。

概念二：從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高。

不同版本的教材，幾乎都是用“一點到對邊引一條垂線段”來界定平面圖形的高。不同的是，有的教材只呈現“一底一高”，有的卻呈現了“一底多高”和“多底多高”。而事實上，從上述概念推論可知，每一個三角形都有三條高，每一個梯形和平行四邊形都有無數條高。我們憑什么只讓學生感知“三角形的一條高”“梯形和平行四邊形的高是從頂點出發的”？這樣避重就輕，難道就不擔心學生“知識扭曲”“思想缺陷”嗎？何況，這些知識點都恰好位于“垂線段”知識支撐下的最近發展區內。筆者認為，不管從落實“四基”的任何一點出發，讓學生科學、全面地認識高，都是“合理的需要”。如果“前概念”利用得當，“種子概念”引申合理，“高”認知的生長是自然而然的事情。

二、方案設計

“高”到底應該怎么教？如何學？筆者認為，在策略上必須遵循知識創新和認識發展的特點，充分利用學生的生活經驗和數學知識，調整學習順序，設計學習任務，驅動深度學習，并提供必要的學習支架，實現“高”的認知的自然生長。下面，筆者對最新實踐作一梳理。

（一）豐富垂線段知識，預備“高”的上位概念

1.引導學生從不同位置的直線外一點畫這條直線的垂線段，準確感知和建構“垂線段”。

2.引導學生從“線段”“外”一點畫這條線段的垂線段，拓展“垂線段”的認識范圍，為認識高積累豐富的活動經驗。

（二）激活生活經驗，加工“高”的前概念

1.操作：如果下面分別是你站著和躺著的照片，請你分別在圖上畫一條線段表示出你的身高。

2.交流：你憑什么認為你在第一幅圖上畫的垂直線段就是你的身高？（立）你又憑什么說第二幅中，你畫的水平線段也是你的身高？（破）

3.小結：身高是從人體頭頂（相當于“點”）出發，垂直于腳底所在平面（相當于“對邊”）的垂線段。

（三）順勢遷移，同化三角形的“高”

1.探索：三角形有高嗎？如果我們把它的頂點看作“頭頂”，你猜這個三角形有幾條高？可能分別在哪里？請你給這個三角形畫一條高。

2.展示：他們畫的都是三角形的高嗎？為什么？

3.總結：三角形的高是從一個頂點出發，到對邊（底）的垂線段。

4.應用：銳角三角形有3條高，那直角三角形和鈍角三角形呢？如果有，在哪里？畫一畫。

（四）變化情境，突破梯形的“高”

1.創設情境，認識梯形的“高”。

（1）合情探索：梯形的高可能在哪里？也請你畫一畫。

（2）深度辨析：這兩條虛線，哪一條是梯形的高？

（3）準確建構：從一條平行邊的一點出發，到對邊（底）的垂線段是梯形的高。

（4）科學遷移：請你再給這個梯形畫一條高，并標出底。

2.再變情境，認識平行四邊形的“高”。

（1）合情探索：平行四邊形也有高，請你給它畫一條高。

（2）深度辨析：他們畫的都是平行四邊形的高嗎？為什么？

（3）準確建構：平行四邊形的高也是從一條平行邊上的一點出發，到對邊（底）的垂線段。

（4）科學遷移：這個同學畫的是平等四邊形的高嗎？請你再畫一條這樣的高。

以上所述“認識高”的綜合解決方案，比較科學地遵循了知識創新和認識發展的規律，合理地利用了學生的知識基礎和生活經驗——先完成“高的點線模型”，再構建“高的線線模型”——學習難點少、認知焦點準，實現了“順學而教”，教學效益比較突出。不足的是，該方案需要調整教學序列，將“認識三角形的高”前置，可能會破壞“三角形特征”的整體感知。但是，相對于學生數學素養發展的大方向，筆者覺得這樣的改變是完全值得的。

參考文獻：

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[2]朱國榮.例談挑戰性學習任務的設計策略[J].教學月刊·小學版（數學），2014（12）.

[3]謝志芳.“認識底和高”的教學思考與改進[J].小學教學參考，2015（07）.

（浙江省海寧市仰山小學 314400）