思考核心問題積累思維經驗

沈華斌 范新林

【摘 要】數學基本活動經驗的積累其核心是如何思考的經驗積累，以“面積板塊”教學為例，教師可以以“與什么有關？有什么關系？關系對嗎，如何驗證？”為核心問題，以及這些問題在不同階段的表達形式，闡述如何幫助學生積累思維經驗，從而培養學生數學思考的思維能力。

【關鍵詞】核心問題 思維經驗 面積教學

“面積板塊”教學是從認識“面積和面積單位”開始的，那么面積教學的思維生長點是什么呢？帶著學生去思考：平面圖形的面積大小“與什么有關？是什么關系？關系對嗎，怎么驗證？” 本文試圖結合面積板塊的教學談談對“思維經驗”的認識。

一、懵懂階段——在幫扶下感受面積計算

【案例1】長方形的面積

1.自主探究

師：請同學們大膽地猜測，長方形的面積和什么有關系？有怎樣的關系？

生：和長有關。

生：和長、寬都有關。

生：和周長有關。

2.實踐探究，合作交流

師：你們的猜測是否正確呢？現在就請同學們觀察合作要求，運用相關學具（1平方厘米的正方形），完成學習任務。

課件出示合作要求：

（1）以小組為單位，運用小正方形學具擺一擺、數一數，合作搭建3個長方形，完成實驗記錄表。

（2）仔細觀察記錄表，你發現了什么？

（3）嘗試用比較規范的數學語言表達實驗過程及實驗結論。

反饋：

生：我們發現長方形的面積和它的長和寬有關，長方形的面積=長×寬。

師：你們是怎么發現的？

生：我們通過先把正方形學具擺一擺，一行擺4個，擺這樣3行，就擺成了一個長方形。再數一數、算一算，它的面積就是3×4=12（平方厘米）。

師：哪些小組聽懂了他們組的發言，也來說一說。（請其他小組發言）

師：那長方形的面積和它的周長有關嗎？

生：沒有直接的關系，比如我們小組擺了每行6個，有這樣2行的長方形，面積大小和長4厘米、寬3厘米的長方形一樣，都是12平方厘米，但它們的周長是不一樣的。

生：我們組也認為沒有關系，周長同樣是16厘米的長方形，可以擺成長6厘米、寬2厘米，也可以擺成長5厘米、寬3厘米，還可以擺成長7厘米、寬1厘米，但它們的面積分別是12平方厘米、15平方厘米、7平方厘米。

……

師：讓我們再來猜測問題，現在覺得長方形的面積和什么有關？有怎樣的關系呢？我們是怎么得到這樣的關系的呢？

生：和長、寬有關。

生：“長方形的面積=長×寬”的關系。

【思考】

思維經驗的形成是學生在學習數學知識活動中形成的，對于“數的大小、長度的多少”學生已經有前經驗的知識積累：明確了面積單位的統一后，單位正方形的個數就是圖形面積的大小。這是對學生描述性概念的回顧，也是對后續面積公式推導經驗的一種喚起，讓學生通過用“小正方形學具擺長方形”也就順理成章，從而探究長方形的面積。開始教師通過設問，讓學生先提出問題，長方形的面積與什么有關？有怎樣的關系？學生通過實際動手操作，發現了長方形的面積探究就是數出其中若干個面積單位，一排有幾個（長方形的長），有這樣的幾排（長方形的寬），從而推導出長方形的面積和長、寬有關，長方形的面積就等于長×寬（一共有幾個面積單位）。在這一階段中，學生在教師幫扶下初步感受到與面積大小相關的條件，并且在提供學具的基礎上通過小組探究“條件之間的關聯”，初步體會長方形面積如何計算的探究過程。

二、感悟階段——在引導下感悟面積計算

學數學是把知識轉化為能力，教數學是讓學生能夠積累知識，形成正確思維經驗，養成數學能力，這樣的過程才是一個提升的過程。從長方形的面積到平行四邊形面積的推導，再到梯形、三角形的面積教學，這個教學過程中又積累了怎樣的思維經驗呢？那就是感悟知識間的“聯系”和“轉化”，進一步體會探究面積的3個問題“與什么有關？有什么關系？關系對嗎，如何驗證？”

（一）聯系：從未知到已知

數學不同板塊知識之間存在著緊密聯系，特別是未知知識與已知知識的聯系，對于未知知識我們經常不會直接尋找問題的答案，而是尋找一些熟悉的結果（已知知識），設法將面臨的問題轉化為某一規范的問題，以便運用已知的理論、方法和技術使未知問題得到解決。

【案例2】平行四邊形的面積

師：同學們，今天我們學習平行四邊形的面積，之前我們學習了長方形和正方形的面積，還記得我們是怎么學習的嗎？

師：對了，在學習平行四邊形的面積時我們也來帶著這些問題思考：與什么有關？有什么關系？關系對嗎？如何驗證？

生：和它的底有關。

生：和底和鄰邊有關。

生：和底、高有關。

1.自主探究平行四邊形的面積（每一小格代表1，也可以利用學具平行四邊形來幫助）。

反饋：

師：你們有什么發現？

生1：我們發現平行四邊形的面積和它的鄰邊沒有關系，因為圖①的鄰邊是4分米，底是3分米，相乘得12平方分米，而實際我們通過數方格發現它的面積只有9平方分米。

生2：應該和平行四邊形的底和高有關，將圖①沿著高將它的一半（三角形）平移，與它的另一半合成了一個正方形，邊長是3分米，面積等于9平方分米，正好等于平行四邊形的底和高相乘。

師：圖②你們又是怎樣探究的？

生3： 1+1+1+1+1=5

生4： 1×5=5

2.反饋：你是通過什么方法怎么得到的？

小結反思：平行四邊形的面積與誰有關？你們是怎么探究的？關系對嗎？

生：我們發現平行四邊形的面積與它的底和高有關，我們把平行四邊形沿著高剪開，變成了一個長方形，長方形的長就是平行四邊形的底，長方形的寬就是平行四邊形的高。

【思考】

平行四邊形面積推導和長方形面積探究一樣，同樣是提出3個問題，在長方形面積探究中則要求學生學會轉化，但是對于學生來說他們是怎樣想到轉化的呢？這就需要經驗。有的經驗是長久積累的，有的經驗是直接鋪墊的。本片段中體現了學生將陌生的問題轉化為熟悉的問題，將新知識轉化為舊知識，或將平行四邊形利用方格圖轉化成“能數的面積單位”，或將平行四邊形轉化成長方形的面積，從而探究出長方形的面積與它的底和高有關。學習平行四邊形面積之前，學生已經認識了面積單位，會用數方格的方法來求出面積的大小。平行四邊形面積中的轉化探究是讓學生體會到“形狀求變”的策略，面積“大小不變”是基礎。比如圖②的面積探究，生3是原生態的轉化，生4則是在生3的基礎上進一步加工后的轉化。這個過程實際也是尋找已知與未知聯系的“思維經驗”積累，這樣的經驗積累有助于學生在以后的數學學習中，注重尋找知識間的聯系來探究新知。

（二）遷移：從一例到一類

轉化是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將復雜問題轉化為簡單問題，把新的知識轉化為已學過的知識，達到最終解決問題。通過轉化思想，可以幫助學生很好地解決較復雜的數學問題。學生在學習了平行四邊形面積之后，已對轉化方法的運用有了一定的基礎，對平面圖形面積的大小和什么有關已有了一定的認知，在梯形、三角形、組合圖形等面積教學時需進一步地運用，才能內化為學生自己的東西，形成思維經驗。

【案例3】多邊形的面積

多邊形的面積包括四部分內容：平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積和組合圖形的面積。而學習這些圖形的面積計算則以長方形面積計算為基礎，教師在教學中以平面圖形內在聯系為線索，以未知向已知轉化為基本方法開展學習。三角形（梯形）的面積與什么有關，你是怎么發現的？如下圖：

在學習梯形面積時，轉化方法就應用得更加靈活，既可以轉化為兩個三角形的面積，如圖：，又可以轉化為平行四邊形的面積，如圖：，也可以轉化成多種圖形面積的組合，如圖：等，最終都可以得出梯形的計算面積公式，從而將新知內化為自己的知識。

知識技能的獲得和經驗的積累是相互的。長方形面積的學習是平行四邊形面積推導的基礎，平行四邊形面積的學習為學習三角形面積積累了經驗，三角形面積的學習為梯形面積的學習積累經驗，三角形和梯形的面積推導直接由平行四邊形面積推導方法遷移而來，學生在學習平行四邊形時對高的認知，給三角形和梯形的面積推導帶來了便利，通過將平行四邊形、三角形、梯形之間面積的互相轉化，把兩個完全一樣的三角形或梯形拼補成一個平行四邊形，厘清了三角形面積大小與它的底和高有關，梯形面積的大小與上下底之和、高有關，而在這一過程中正是“轉化”方法運用的逐步積累，讓學生在對面積探究中，逐步完善自己對面積推導的思維經驗積累。

三、運用階段——在自覺運用中探知面積計算

思維經驗是一種思考的經驗，是可以幫助學生來選擇方法策略的經驗。在數學學習中，一位數學活動經驗積累豐富又善于選擇方法策略的學生，那么他對數學的學習能力肯定會隨著思維經驗的累積而加強。

【案例4】圓的面積

1.實驗驗證

師：你打算怎么研究圓的面積？

師：大家還記得平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式分別是如何推導出來的嗎？（學生回憶后匯報，教師演示，激活探究思路）

2.第一輪探究——明確思路，體會轉化

小組匯報。你們小組是怎么研究的？

生：我們小組認為圓的面積可能和它的半徑大小有關，我們的方式是剪圓。

師：怎么剪呢？沿著什么剪？

生：沿著直徑或半徑剪開。

（小組演示2等份、4等份、8等份，引導發現邊越來越直，剪拼的圖形越來越接近平行四邊形）

3.第二輪探究——明確方法，體驗極限

師：剛才我們將圓分別剪成4等份、8等份再拼成新的圖形的目的是什么呀？

生：想把圓形轉化成平行四邊形。

師：那還能轉化得更像嗎？

生：可以將圓平均分成16份。

（引導學生把16、32等份的圓拼成近似的長方形，上臺展示）

師：從哪兒可以看出這兩幅圖更接近平行四邊形了？

生：邊更直了。

師：是什么方法使得邊越來越直了？

生：平均分的份數越來越多。

（課件演示，引導學生體驗把圓平均分成64份、128份……剪拼后的圖形越來越接近長方形）

師：如果我們平均分的份數足夠多，最后拼成的圖形就成——長方形了。

……

師：回憶一下，我們是用怎樣的方法來探究圓的面積的？

【思考】

思維經驗的累積相比知識本身更側重于對學習策略和學習方法的逐步積累，在平時的課堂中讓學生的思維在課中動起來，通過“比較、反思”等方法，以此想通、悟透知識間的來龍去脈，選擇優化的方法策略。學生到小學六年級學習“圓的面積”時，已經積累了多個平面圖形面積計算的探究經驗，通過教師的引導對面積探究的“3個核心問題”已有一定的體驗和感知，所以在案例4中老師放手讓學生自主探究，自覺運用探究面積的方法來研究“圓的面積”計算方法。

總之，在數學教學中，教師讓學生會思考，愿意思考，讓他們的思維真正參與其中是關鍵因素。面積板塊的教學，是讓學生通過對已知與未知的比較和聯系，初步體會轉化思想方法；通過梯形、多邊形面積的學習，掌握對轉化思想方法的熟練運用；通過圓的面積自主推導，遇到問題，善于思考知識間的聯系，運用已學的方法來解決問題。最終讓學生在積極的思維參與中領悟數學的本質和核心，學生這種積極參與數學活動的思考思維有利于達成對數學知識的深刻理解和融會貫通。所以“思維經驗”的積累，不僅在于思考知識的“聯”，還在于對方法的靈活運用。

參考文獻：

[1]郭玉峰.數學活動經驗研究——理論與實踐探討[D].東北師范大學博士論文，2012.

[2]張丹.發展學生基本活動經驗的探索與實踐[J].小學數學教師，2014（3）.

[3]李蘭瑛.在問題解決過程中幫助學生積累數學思考的經驗[J].江蘇教育，2014（11）.

（浙江省湖州市織里實驗小學教育集團 313000

浙江省湖州市湖師附小教育集團 313000）