探討與圓的軌跡有關(guān)的問(wèn)題

吳鶯

摘 要：圓是一個(gè)奇妙的幾何圖形，實(shí)際是個(gè)概念性的圖性，近年來(lái)江蘇高考中頻頻出現(xiàn)有關(guān)圓的試題，其中用圓的軌跡處理的題目往往意想不到，難度也比較大，所以我們要重視這類新型難題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 圓形 軌跡

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：C 文章編號(hào)：1672-1578（2016）09-0110-02

圓是最完美的曲線，是最基本的幾何圖形，近年江蘇高考中2013年高考第17題（解析幾何），2014年高考18題（應(yīng)用題）相繼考查了圓的軌跡圓的性質(zhì)等知識(shí)，筆者在2014屆高三二輪復(fù)習(xí)階段中，發(fā)現(xiàn)各類模擬卷各類習(xí)題中出現(xiàn)了一系列的圓軌跡問(wèn)題，下面，將其歸納整理總結(jié)成文。

1 利用圓的定義求出其軌跡

初中階段我們對(duì)圓的定義為“它是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，定點(diǎn)就是圓心，定長(zhǎng)就是半徑。”由此高中必修二上推導(dǎo)出了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程“方程（x-a）2+（y-b）2=r2（r>0）叫做以點(diǎn)（a，b）為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”。

例1：已知點(diǎn)M（4，3）及圓C∶（x+1）2+（y-1）2=4，由動(dòng)點(diǎn)P向圓引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，并且∠APB=60°，求PM的最小值。

2 利用圓的性質(zhì)求出其軌跡

例2：（1）已知定點(diǎn)A，B，若動(dòng)點(diǎn)P滿足PA⊥PB，則P的軌跡是以AB為直徑的圓。

（2）若平面四邊形的兩個(gè)對(duì)角互補(bǔ)（或一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角），則四點(diǎn)共圓。

例2：若定點(diǎn)P（-1，0）在動(dòng)直線2ax+（a+c）y+2c=0上的射影為M，已知點(diǎn)N（3，3），則線段MN長(zhǎng)度的最大值是______

5 總結(jié)與反思

將這些內(nèi)容整理和歸納后，在二輪復(fù)習(xí)快結(jié)束時(shí)，筆者給學(xué)生講解了這一堂與圓的軌跡有關(guān)的問(wèn)題，課堂中很多值得反思和總結(jié)的地方，對(duì)筆者今后講解圓這一章節(jié)的知識(shí)有很多的想法。

（1）在課堂初始時(shí)，筆者提問(wèn)學(xué)生圓的平面性質(zhì)和定理，希望學(xué)生們各抒己見，說(shuō)說(shuō)大家認(rèn)識(shí)的圓的，結(jié)果學(xué)生都楞住了，圓對(duì)他們來(lái)說(shuō)又熟悉又陌生，有些學(xué)生覺得性質(zhì)太多不知道從何說(shuō)起，有些學(xué)生對(duì)圓只有一個(gè)大概模糊的印象。其實(shí)這些都是學(xué)生在初中時(shí)圓的性質(zhì)定理掌握的不透徹，高中又強(qiáng)調(diào)得不明顯。如果一下子問(wèn)到某個(gè)知識(shí)點(diǎn)就楞住了。因此，在高中幾何教學(xué)中也有必要穿插初中的幾何知識(shí)，讓學(xué)生對(duì)初中的知識(shí)溫故而知新。

（2）同學(xué)對(duì)軌跡的概念比較陌生，大部分學(xué)生習(xí)慣直接，不轉(zhuǎn)彎抹角地列出式子得出答案，而這節(jié)課的內(nèi)容更抽象，需要從題目條件出發(fā)，構(gòu)造或者猜想出圓的軌跡。學(xué)生對(duì)動(dòng)點(diǎn)求其軌跡的概念薄弱，很多同學(xué)做完驚呼“這種方法我想不到”。因此，在教學(xué)中，我們應(yīng)該加強(qiáng)求動(dòng)點(diǎn)軌跡的數(shù)學(xué)思想。

（3）學(xué)生的計(jì)算能力應(yīng)該加強(qiáng)，求圓的軌跡避免不了要計(jì)算，特別明顯是例5，很多學(xué)生對(duì)題目中的4個(gè)式子都能羅列出來(lái)，但是要將4個(gè)式子整合起來(lái)就不會(huì)處理，或者處理不當(dāng)導(dǎo)致計(jì)算繁瑣。在教學(xué)中要訓(xùn)練學(xué)生的計(jì)算能力我們不是要一步步寫給學(xué)生看，而是要讓學(xué)生一步步寫給我們看，讓學(xué)生多算多練，慢慢提高自己的計(jì)算能力。