建模，讓計算教學(xué)豐盈起來
——以《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》教學(xué)為例

趙紅婷

近日，有幸聆聽了蘇州市教研員劉曉萍老師執(zhí)教蘇教版三上《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》一課，其以生為本的課堂氛圍，傳遞著最新的課改氣息。教師的教學(xué)立足于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，將教學(xué)落實在學(xué)生最需要的地方。教師從學(xué)生熟悉的事例和已有經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)其經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，通過數(shù)形結(jié)合，學(xué)生理解了算理，掌握了算法，并順利建構(gòu)了兩位數(shù)乘法的計算模式。

一、借助生活事例，凸顯算式模型

數(shù)學(xué)是源于生活、寓于生活并應(yīng)用于生活的一門學(xué)科，每個數(shù)學(xué)模型都有著現(xiàn)實的“生活原型”。數(shù)的運算，其實質(zhì)是對現(xiàn)實生活中物體的個數(shù)進(jìn)行運算，小學(xué)階段每個算式都可以在生活中找到實例。理解算理時，除了要與實際情境相結(jié)合，還須逐步將之過渡為數(shù)學(xué)語言符號。計算教學(xué)中，巧妙借助生活事例，賦予算式以豐富的內(nèi)涵，再進(jìn)行抽象提煉，便能順利凸顯算式模型。

1.用數(shù)學(xué)語言講現(xiàn)實故事。

史寧中教授說：“模型就是用數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實世界的故事。”的確，看似簡單的算式，其背后卻藏著很多的故事，任何一個算式都可看成一個“模型”。課伊始，簡單復(fù)習(xí)口算后，教師就引導(dǎo)學(xué)生思考：“19×13能解決哪些生活問題？”學(xué)生分別舉出了如下事例：一支鋼筆19元，13支鋼筆多少元？一筐水果19元，13筐水果多少元？一條褲子19元，13條褲子多少元？……這時，教師追問：“這樣的故事能講完嗎？如果19表示每行擺19朵花，那么乘13表示什么？”學(xué)生說：“乘13表示有這樣的13行。”這時，教師順勢用課件出示花圖，接著，教師再問：“如果19表示每行擺19根小棒，那么乘13表示什么？”學(xué)生說：“乘13表示有這樣的13行。”至此，通過師生講故事，“19×13”這一算式模型背后的豐富意義就已展現(xiàn)無遺。

2.賦數(shù)學(xué)算式以一般意義。

學(xué)生舉例后，教師呈現(xiàn)出紅花和小棒的例子，再次追問：“這樣的故事能講完嗎？”學(xué)生表示講不完，感受到了“19×13”這一模型的豐富內(nèi)涵，教師指出：如果每個東西都用一個點子來表示，請大家想象一下19×13表示的點子圖。同時，課件逐漸將花和小棒抽象后形成點子圖，使學(xué)生意識到：已知一份是19，求13份是多少，都能用19×13計算。由具體、形象的實例開始，借直觀圖予以內(nèi)化和強化，最后通過思維發(fā)散和聯(lián)想加以擴展和推廣，賦予“19×13”以一般的模型意義。教師滲透了初步的數(shù)學(xué)建模思想，訓(xùn)練了學(xué)生抽象、概括、舉一反三的學(xué)習(xí)能力。

二、依托直觀圖式，建構(gòu)算理模塊

算理是四則計算的理論依據(jù)，它是由數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、定律等內(nèi)容構(gòu)成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論知識。算理是計算的道理，體現(xiàn)了計算過程的思維方式，它解決為什么這樣算的問題。算理為算法提供了理論指導(dǎo)，算法使算理具體化。在計算教學(xué)過程中，教師應(yīng)更多關(guān)注學(xué)生對算理的理解，可引導(dǎo)學(xué)生在直觀形象中理解算理，使其不僅知道計算方法，而且明白駕馭方法的原理。

1.看圖估計，確定積的范圍。

掌握了“19×13”這一算式內(nèi)涵之后，教師設(shè)問：“19×13的積可能是幾位數(shù)？”學(xué)生說，可能是三位數(shù)。之后，教師并不急著讓學(xué)生計算精確結(jié)果，而是讓學(xué)生先估算。一生說：“可以這樣估算：20×13=260。”教師順勢引導(dǎo)學(xué)生觀察點子圖，得出：這樣估算比原來大。另一生說：“還可以這樣估算：19×10=190。”學(xué)生再結(jié)合點子圖進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)：這樣估算比原來小。通過點子圖，直觀比較了估算值與精確值的大小，清晰地分析了積的許可范圍。這樣的看圖估計，發(fā)展了學(xué)生的估算意識，培養(yǎng)了他們良好的數(shù)感。

2.借圖說理，形成算理模塊。

估算之后，教師提問：“這道題能不能先算一部分，再算一部分？”教師引導(dǎo)學(xué)生在練習(xí)紙的點子圖上圈一圈、算一算。匯報時，有學(xué)生這樣算:19≈20，20×13=260，260-13=247，還有學(xué)生這樣算：19×10=190，19 ×3=57，190+57=247。學(xué)生敘述計算過程時，教師能緊密聯(lián)系點子圖，幫助學(xué)生理解算理，將數(shù)與形結(jié)合，順利建構(gòu)了兩位數(shù)乘法的算理模塊，即：先算其中一部分，再算另一部分，然后兩部分相加。借助點子圖，進(jìn)行形式化演算，使兩位數(shù)的算理更直觀易懂。在此，點子圖成為說明算理的好載體，直觀的演算，促使學(xué)生順利建構(gòu)了算理模塊。

三、進(jìn)行方法比較，強化算法模式

算法是實施四則計算的基本程序和方法，通常是算理指導(dǎo)下的一些人為規(guī)定。計算教學(xué)既需要讓學(xué)生在直觀中理解算理，也需要讓學(xué)生掌握抽象的法則，更需要讓學(xué)生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程，從而達(dá)到對算理的深層理解和對算法的切實把握。

1.算法求同，形成程式。

直觀理解算理后，教師引導(dǎo)學(xué)生比較口算和筆算的相同點，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，口算和筆算雖然寫法不同，但其思路是一致的。教師分析筆算算法時，能聯(lián)系口算來理解，講個位、十位分別乘兩位數(shù)的時候她用小黑板貼住另一個數(shù)，即，講個位的時候遮十位數(shù)，講十位的時候遮個位數(shù)，這樣的處理，能使學(xué)生更清楚地看到豎式計算的過程，促使學(xué)生在豎式上進(jìn)行形式化的演算，幫助學(xué)生完成筆算方法的程式化建構(gòu)。通過口算和筆算的比較，學(xué)生理解了兩位數(shù)乘法的計算方法。

2.前后貫通，提煉方法。

新授后，教師引導(dǎo)學(xué)生試算14×21，并讓學(xué)生嘗試概括筆算方法。至此，劉老師并未罷手，而是充分利用課始兩道口算題（34×3，34×20），引領(lǐng)學(xué)生將這組算式組合成兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式（34×23），通過計算，再次領(lǐng)悟算法。在算理直觀與算法抽象之間架設(shè)一座橋梁，讓學(xué)生在充分體驗中逐步完成“動作思維、形象思維、抽象思維”的發(fā)展過程。形成初始豎式后，并未過早抽象出一般算法，而是讓學(xué)生運用這種初始模式再計算幾道題，才提煉出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法。這種前后貫通的壓縮、提取過程，有利于學(xué)生構(gòu)建合理的算法模式。

史寧中教授指出：“數(shù)學(xué)思想有三個：抽象、推理、模型。”數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)知識的核心內(nèi)容，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用的核心價值。從本質(zhì)上說，數(shù)學(xué)就是在不斷抽象、概括、模式化的過程中發(fā)展和豐富起來的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)只有深入到“模型”“建模”的意義上，才是一種真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。在計算教學(xué)中，活用數(shù)學(xué)模型，將其滲透到實際教學(xué)環(huán)節(jié)中去，可以幫助學(xué)生更好地理解算理模塊和算法模式，順利建構(gòu)有關(guān)兩位數(shù)乘法的計算模型，推動學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的穩(wěn)步提升。在探索數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生同時也獲得了解決實際問題的思想、程序與方法，這對學(xué)生發(fā)展來說，其意義遠(yuǎn)大于僅僅獲得某些數(shù)學(xué)知識。可以這么說，建模，也讓計算教學(xué)變得豐盈起來。