豐厚表象累積夯實概念形成
——《點到直線的距離》教學設計（二）

傅斌/汪杰

【教學內(nèi)容】

人教版四年級上冊第五單元第59頁例3。

【教學思考】

從教材體系來看，點到直線的距離對后續(xù)學習“高”有著深刻的影響。如點到直線的距離定義為“從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫做點到直線的距離”；平行四邊形的高定義為“從平行四邊形一條邊上的一點向?qū)呉粭l垂線，這點和垂足之間的線段叫做平行四邊形的高”。比較兩者的概念定義，我們發(fā)現(xiàn)核心要素都是垂直線段，研究對象是點到對應的線；比較點到直線的距離與高的長度獲得過程，我們發(fā)現(xiàn)兩者都需要經(jīng)歷“找點——找對應線——作垂線——標垂足——量長度”的過程，操作步驟、技能要求幾乎一致。

從教材內(nèi)容來看，“點到直線的距離”由三部分組成。第一板塊編排了畫“過點A到直線的線段”，發(fā)現(xiàn)“垂直線段最短”的性質(zhì)。第二板塊學習“點到直線的距離”概念。第三板塊應用概念測量兩條直線間的距離，發(fā)現(xiàn)“平行線間距離處處相等”的性質(zhì)。兩個性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)都是圍繞概念展開的，前者凸顯的是概念的核心要素，后者是概念的操作應用。

因此本節(jié)課教學重點就是讓學生借助多重操作感知“垂直線段”和長度測量，經(jīng)歷多重過程自我構(gòu)建“距離”。

【課中探索】

一、操作驗證，感知垂直線段最短

1.出示點A和直線m，討論：從點A出發(fā)到直線m你能畫出幾條線段?端點在哪里？”

圖1

讓學生先畫線段，再指一指所畫線段的兩個端點。之后用電腦演示畫線段，選直線上的端點標上字母，形成圖1。

小結(jié)：可以畫無數(shù)條線段，起點都是點A,另一個端點在直線上。

2.觀察討論：你覺得線段AD有什么特殊的地方？

生：線段AD與直線m垂直。

組織學生動手在練習紙上驗證垂直。教師介紹指出“從點A到垂足D形成的線段叫做垂直線段”。

3.判斷討論：哪條線段是直線BE的垂直線段？

圖2

生：線段AD。

師：線段AD真的是垂直線段嗎？我們來驗證一下。

媒體演示用三角板驗證，發(fā)現(xiàn)未重合，否定線段AD。

組織操作思考：你能畫出從A點出發(fā)到直線BE的垂直線段嗎？

學生動手在練習紙上畫垂直線段，展示交流正確畫法，做好垂足標記，標上字母F。

【設計意圖：學生對于垂直的判斷，往往利用肉眼觀察做出直覺判斷，這里設計線段AD是否垂直的辨析環(huán)節(jié)，再次點擊垂直的本質(zhì)“兩條直線相交成直角”，讓學生感悟運用工具的必要性。】

4.討論：在圖2的這些線段中，你認為哪條線段長度最短？

生：線段AF。

師：怎么證明？

生：量一量線段的長度。

組織學生測量線段長度，展示后得到“垂直線段AF長度”最短。

5.（回到圖1）再次討論：這么多線段中，還是垂直線段最短的嗎？可以怎樣驗證？

引導學生用觀察法和測量法（比較接近于垂直的線段，采用測量法）再次驗證。小結(jié)得出：從一點出發(fā)到直線的所有線段中，垂直線段最短。

【設計意圖：通過讓學生經(jīng)歷“猜想——驗證”的過程，依托具體可見的長度數(shù)據(jù)，歸納發(fā)現(xiàn)“垂直線段最短”的性質(zhì)，有利于培養(yǎng)嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。】

二、夯實過程，經(jīng)歷概念形成

1.教師介紹指出：通過測量，我們知道垂直線段AF的長度是3cm。在數(shù)學中，我們就可以說點A到線段BE的距離是3cm。

2.操作測量，探究距離。

（媒體呈現(xiàn)斜方向的直線m和直線外點B、點C）

（1）討論：“要想知道點 B、點C到直線m的距離各是多少，你打算怎么辦？”

師生交流中明確操作步驟：①畫垂直線段，②量出長度。

（2）學生獨立完成探究后，反饋錯例（錯例一：垂直不標準；錯例二：線段一端超過點B），用媒體記錄測量距離的數(shù)據(jù)（4厘米、5厘米）。

（3）反饋討論“4厘米指的是什么？”，得出“4厘米是點B到直線m的垂直線段的長度”可以簡說為“4厘米是點B到直線m的距離”。

3.概括提煉，形成概念。

討論“什么是點到直線的距離？”，引導學生用自己的語言描述、概括概念，最后形成板書。

4.辨析比較，完善概念：點A到線段DE的距離是（ ）?

三、鞏固應用，拓展概念外延

1.測量兩直線間的距離。

（1）呈現(xiàn)一組平行線：組織學生任選3點，量出它們到另一條直線的距離。

（2）討論：“通過測量，你發(fā)現(xiàn)了什么？”小結(jié)：平行線間距離處處相等。

（3）呈現(xiàn)一組相交的直線，組織學生任選3點，量出它們到另一條直線的距離。

觀察討論：你又發(fā)現(xiàn)了什么？

小結(jié)指出，相交的兩條直線距離有大有小。

討論：現(xiàn)在你怎樣判斷平行？

生：只要選幾個點看距離是否相等，如果相等這兩條直線平行。

2.從圖形中找距離。

3.生活中應用距離：怎樣測量跳遠距離呢？

【設計意圖：應用概念量距離，實現(xiàn)新舊知識的聯(lián)結(jié)，幫助學生感悟驗證平行從“想象無限延伸”到測量“距離是否相等”的理性判斷；應用概念找距離，為知識的后續(xù)發(fā)展，正確地找“高”做準備；應用概念量跳遠，實現(xiàn)生活與數(shù)學的對接，發(fā)展學生解決問題的能力。】

【總評】

一、多重操作助表象累積

“垂直線段”是“點到直線距離”概念的核心要素。為了讓學生獲得充分感知，建立清晰表象，教學中首先讓學生“畫線段”、“指端點”，喚起對線段的認知經(jīng)驗，強化了從“哪點出發(fā)”到“哪點結(jié)束”。其次讓學生“驗證垂直”、“畫垂直線段”，激活判斷垂直、畫垂線的活動經(jīng)驗，強調(diào)了工具的運用，在操作中“兩個端點”“垂直”的圖像逐步清晰。在引出距離概念后，讓學生獨立作圖探究距離，把此過程中出現(xiàn)的典型錯例作為交流材料，在辨別“是否垂直”、“垂直線段與垂線”的過程中，幫助學生累積豐厚的表象，同時作圖技能得到提升。

二、夯實過程促概念形成

在概念形成過程中，教師首先引出范例，讓學生了解“距離”。其次采用師生合作、學生獨立探究點B、點C分別到直線的距離,讓學生在動手操作、交流辨析中理解“距離”。再次教師引導學生回顧操作過程，總結(jié)“什么是點到直線的距離”，從而提煉出“距離”。最后呈現(xiàn)辨析習題，圍繞“是否垂直”“起點在哪”展開交流，讓學生自我完善“距離”。整個過程中學生積極的運用舊知去“理解、修正、總結(jié)、反思”新知，在“平衡”與“不平衡”不斷反復中建構(gòu)的概念圖式清晰，本質(zhì)理解深刻。