抓住數(shù)學(xué)本質(zhì) 滲透數(shù)學(xué)思想
——《解決問題的策略（畫線段圖）》教學(xué)

周道鑫（特級教師）

【教學(xué)內(nèi)容】

蘇教版四年級下冊第48～49頁。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.使學(xué)生初步認(rèn)識畫圖的策略，能畫線段表示實際問題的條件和問題，學(xué)會利用直觀圖分析數(shù)量關(guān)系，說明解決問題的思路，并正確列式解答。

2.使學(xué)生經(jīng)歷畫線段圖表示題意、分析數(shù)量關(guān)系的過程，體會畫圖的作用，培養(yǎng)利用幾何直觀、判斷、推理等思維能力，提高分析數(shù)量關(guān)系、解決問題的能力。

3.使學(xué)生主動探索問題解決，獲得成功的感受；進(jìn)一步感受一些數(shù)學(xué)實際問題的特點，體會數(shù)學(xué)方法的作用，產(chǎn)生對數(shù)學(xué)方法的興趣，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

【教學(xué)重點、難點】

掌握畫線段圖解決問題的策略；分析線段圖找到解決問題的策略，理解三種不同方法的本質(zhì)。

【教學(xué)過程】

一、引入課題

師：看到大屏幕，你知道我們今天主要學(xué)習(xí)什么內(nèi)容？

生：解決問題的策略。

師：你知道什么是策略？

生：策略就是方法，解決問題的思路。

師：策略對解決問題有什么幫助？

生：能幫助我們理解題意，容易理清思路。

生：能更好地分析題目中的數(shù)量關(guān)系。

生：比文字更簡潔、直觀、好看。

師：那我們已經(jīng)學(xué)會哪些解決問題的策略？

生：四年級上學(xué)期學(xué)習(xí)了列表整理條件。

生：三年級時研究和倍、差倍的問題時學(xué)習(xí)畫線段圖的策略。

師：今天，我們將繼續(xù)使用這些策略來解決新的問題。（板書課題）

【設(shè)計意圖：學(xué)習(xí)本課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了列表和畫圖兩種解決問題的常用策略，其主要作用在于促進(jìn)正確理解題意，幫助分析數(shù)量之間的聯(lián)系，形成解題思路。引入課題談話部分就是喚起學(xué)生對舊知的回憶，初步感受策略對解決問題的應(yīng)用價值，放大學(xué)生學(xué)習(xí)解決問題策略的心理效應(yīng)，產(chǎn)生一種要學(xué)會其技能并逐漸內(nèi)化成自己解決問題的策略的心理需求，為新課學(xué)習(xí)做好知識準(zhǔn)備和積極的心理暗示。】

二、自主探究

1.出示準(zhǔn)備題。

小寧和小春共有72枚郵票。兩人各有郵票多少枚？

師：你獲得什么信息？你認(rèn)為兩人各有郵票多少枚？

生：兩人各有36枚郵票。

師：你是怎么想的？

師：他是假設(shè)小寧和小春兩人的郵票枚數(shù)相等，直接用72÷2，求出兩人各有郵票36枚。每人一定是36枚嗎？還有沒有其它的可能？可能是70枚和2枚嗎？

生：可能。也可能小寧30枚，小春42枚。

生：還可能小春30枚，小寧42枚。

師：也就是說這里有好多種可能，你有什么想法？

生：這題的條件不全面，還應(yīng)該再補充一個條件。

師：說的好，僅靠“共有72枚郵票”這一個條件，我們不能得到確定的答案。

【設(shè)計意圖：利用解決問題的策略來培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。很多時候教學(xué)效果不佳其主要原因是發(fā)現(xiàn)問題和分析問題兩個方面。所研究的問題大多是條件封閉，答案唯一，解決這類問題就在限定的幾個條件中找不同的數(shù)量關(guān)系，難以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，也難以顧全學(xué)生四種能力的培養(yǎng)。通過準(zhǔn)備題，讓學(xué)生直接掉入慣性思維和直覺思維的陷阱：72枚郵票兩人平均分，各36枚數(shù)量相等，這是一種常規(guī)思維。“每人一定是36枚嗎？”引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑，通過理性思考，讓學(xué)生在思辨中分析問題和發(fā)現(xiàn)問題。】

2.教學(xué)例1。

小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚。兩人各有郵票多少枚？

（1）了解題意。

師：增加一個條件，請你讀讀，你獲得了哪些信息？（根據(jù)學(xué)生回答，條件和問題）

師：72枚、12枚分別表示什么意思？問題呢？

師：看來這題是已知兩個量的和與差，來分別求這兩個量。

師：這個問題與剛才的假設(shè)相比，你認(rèn)為如何？

生：條件多了，原來兩個數(shù)量相等，現(xiàn)在兩個數(shù)量不相等。

生：數(shù)量關(guān)系也變得復(fù)雜了。

師：條件增加了，數(shù)量關(guān)系也變復(fù)雜了，你打算用什么策略來解決這一題？（畫圖）都同意畫圖，那就在你的練習(xí)本上試著畫出它的線段圖。

（通過與準(zhǔn)備題比較，找到題中的條件和問題，從而發(fā)現(xiàn)此類問題的基本特征：已知兩個量的和與差，分別求兩個量，也就是和差問題。通過與準(zhǔn)備題的假設(shè)比較，發(fā)現(xiàn)兩個量不相等，不是簡單的平均分）

（2）學(xué)會畫圖。

師：我們來欣賞一下老師隨機選取的幾位同學(xué)所畫的圖，你對這些圖有什么評價？

根據(jù)學(xué)生的回答強調(diào)：兩個量要用兩條線段表示，和誰比，就應(yīng)該先畫誰，要畫出所有的條件和問題。

師：老師也畫了一個，畫的方法與你的比較一下。如有不完整或錯誤的地方請修改一下，好嗎？

師：從圖上看，你能明白問題的意思嗎？（學(xué)生說）

師：看來題目中的文字已屬畫蛇添足了，老師把它去掉，你還能說說這題的意思嗎？圖和文字相比，有什么優(yōu)勢？（能直觀、清楚地看出條件和問題）

【設(shè)計意圖：形成解決問題的策略需要一個較長的過程，掌握解決問題的某種具體方法是這個過程的主線。這就是說，形成畫圖策略，應(yīng)該讓學(xué)生了解畫圖、學(xué)會畫圖、體驗畫圖、自覺運用畫圖。通過試畫、展評、范畫、修改等環(huán)節(jié)讓學(xué)生學(xué)會最基本的畫圖方法，通過圖文比較，隱去文字，根據(jù)線段圖復(fù)述題意，讓學(xué)生切身體驗到畫線段圖的簡潔、直觀，體會畫圖對解題的積極作用。】

（3）讀圖分析。

師：只看線段圖就能完全理解題意，可怎么解決這個問題，從圖上能找到方法嗎？和你的同桌商量商量（學(xué)生討論）。

學(xué)生匯報：

方法一：小春減少12枚，就和小寧相等了，總數(shù)也要減少12枚，變成60枚，正好就是小寧的2倍，可以先求出小寧是30枚，再求出小春的枚數(shù)。

師：你是從哪里看出來的？還有誰聽懂了他的思路？（根據(jù)學(xué)生回答，配合動畫展示）

方法二：小寧增加12枚，就和小春相等了，總數(shù)也要增加12枚，變成84枚，正好是小春的2倍，可以先求出小春是42枚，再求出小寧的枚數(shù)。

師：你是從哪里看出來的？還有誰聽懂了他的思路？（根據(jù)學(xué)生回答，配合動畫展示）

方法三：把小春比小寧多的12枚平均分成兩份，每份6枚。將其中的一份枚送給小寧，兩人的郵票枚數(shù)也變得相等，總數(shù)還是72枚平均分，分別是36枚。小寧借來的6枚去掉，小春借出的6枚再要回來，就能求出兩人各有郵票多少枚。

師：這種方法與眾不同，郵票總數(shù)不變，把小春多12枚的一半借給小寧，兩人枚數(shù)也實現(xiàn)了相等，很有創(chuàng)意，讓我們把掌聲送給他（配合動畫演示）。

師：經(jīng)過剛才的討論，我們發(fā)現(xiàn)了三種不同的解決辦法。第一種是總數(shù)減少12枚，第二種是總數(shù)增加12枚，第三種是將12枚平均分。雖然方法不同，但解題思路有沒有相同的地方？

生：都是把兩個數(shù)量不相等變得相等。

師：對，從圖上看得非常清楚，兩條線段不等，在不等變得相等的過程中，我們也順利找到了解決問題的辦法。

【設(shè)計意圖：解決問題常強調(diào)“多樣化”和“最優(yōu)化”。通過交流不同人的思考，相互理解各人的解題計劃，體現(xiàn)解決問題方法多樣化，從而實現(xiàn)讓不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。通過不同方法的比較，選出最簡便、最普遍、最好理解的一種方法，這就是最優(yōu)化。在強調(diào)多樣化和最優(yōu)化的同時，還應(yīng)突出“歸納化”。即通過不同方法的類比、融合，歸納、總結(jié)出所有方法的本質(zhì)。恰如例題中三種解法的研究：結(jié)合線段圖比較，都是把兩條不等的線段，通過增、減、分不同的方式，實現(xiàn)兩條線段的相等。把兩個數(shù)量不相等變得相等，就是解決和差問題的精髓。教師教學(xué)必須要抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，通過“本質(zhì)”這條主線來串起不同的解法，滲透歸納類比的數(shù)學(xué)思想和“變中不變”的哲學(xué)思想。當(dāng)然研究“和差問題”更不能簡單的公式化：（和+差）÷2=大數(shù)、（和-差）÷2=小數(shù)，這純屬淪為一種簡單的模仿。】

（4）解答檢驗。

師：三種不同的解題思路，你喜歡哪一種？請用算式把你的解法寫下來，看誰最先算出它們的結(jié)果，并能結(jié)合圖說說你每步算式表達(dá)什么意思。

交流：你選擇哪一圖來說說你的算式和想法。

師：同學(xué)們用了不同的解法，都得到了相同的結(jié)果，說明我們的答案是對的。除了這樣可以檢驗外，我們還可以怎么檢驗？（把得數(shù)代入原題）

生：看他們的和是否等于72。

師：我們檢驗看看42+30=72，和等于 72，就能說明解題正確了嗎？那開頭的猜想70+2也等于72，可為什么70和2卻是錯誤的？

生：我們還要檢驗他們的差是不是 12，42-30=12。

師：看來我們既要檢驗兩個數(shù)量的和是不是72，又要檢驗它們的差是不是12，只有兩個條件同時滿足，才能確定答案是否正確。

【設(shè)計意圖：檢驗方法多種多樣，應(yīng)該根據(jù)實際問題的特點選擇檢驗方法，使檢驗既有效又較簡便。和差問題的檢驗適宜“把得數(shù)代入原題”，通過與準(zhǔn)備題的猜想相比較，讓學(xué)生感受到得數(shù)必須滿足題中所有的已知條件，結(jié)果才正確。從課堂結(jié)構(gòu)看，也是前后呼應(yīng)，再次感受到分析問題和發(fā)現(xiàn)問題的必要。】

（5）回顧反思。

師：回顧一下解決問題的全過程，我們主要應(yīng)用了什么策略？你對線段圖有什么體會？

生：畫線段圖能使數(shù)量關(guān)系更直觀、更清楚。

生：看線段圖分析數(shù)量關(guān)系，容易找到解題方法。

生：把得數(shù)代入原題檢驗，要符合所有已知條件。

師：看來大家已經(jīng)深切地感受到畫線段圖這個策略給我們帶來的好處，能幫助我們理解題意、分析數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而找到解決問題的思路和方法。你會用這種策略來解決一些實際問題嗎？

（回顧解決問題的過程，體驗畫圖方法，感受畫圖策略）

三、鞏固應(yīng)用

師：看圖說題意，和例題相比有什么不一樣？

師：根據(jù)線段圖你能解決這個的問題嗎？

（學(xué)生列式解答，交流解題思路，強調(diào)檢驗方法）

師：這題有選擇第三種解法的嗎？（沒有）為什么？

生：因為“15 本”是單數(shù)，不好平均分。

師：看來，解題要根據(jù)實際情況，選擇較為恰當(dāng)?shù)姆椒ā?/p>

（這道題培養(yǎng)看線段圖的能力。讓學(xué)生看圖說出圖意，就把線段圖表示的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)換成語言表達(dá)的信息，這樣就能在線段圖的直觀影響下，形成自己對題目的理解，以及解決問題的主張）

四、全課總結(jié)

今天我們學(xué)習(xí)了畫線段圖的策略，其實這種策略我們早都使用了，甚至在一年級的時候就已經(jīng)學(xué)習(xí)了。想看看嗎？只不過，它卻是以這樣的面貌展示給了我們（展示四年級的周期問題用圓形表示燈籠、一年級用實物圖來表示）。隨著年級的升高，我們現(xiàn)在使用了線段圖，顯得更直觀、更簡潔。在以后的學(xué)習(xí)中還會遇到利用各種各樣的線段圖、示意圖來幫助我們分析問題、解決問題。