在“PK”中求證在感悟中驗證
——《三角形內角和》教學案例分析

應有建

《三角形內角和》是一節典型的新授課，有很多成熟的教學案例。筆者使用的是浙教版小學數學教材，為了體現新思維教材新穎獨特、思路開闊、維度多元的特征，筆者進行了不同的環節設計，并付諸實施。

一、根據學生實際能力，創設情境

【案例1】

師：今天老師帶來了三個三角形，認識它們嗎？（出示直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形）它們都有三個角，我們把這三個角稱作三角形的內角。

師：這些三角形本來是好朋友，可今天它們卻吵了起來，請同學們來評評理。

課件播放：

直角三角形（邊較長，面積大）說：“我的個頭最大，所以我三個內角的和最大。”鈍角三角形說：“我有一個鈍角比你們大多了，我的三個內角的和肯定比你們大。”銳角三角形也不甘示弱：“我的內角和不一定比你們小，不信量量看！”

師：同學們，聽完它們的爭吵，你贊同誰的觀點呢？

師：有同學認為大三角形的內角和大，也有同學認為三個三角形的內角和一樣大。誰的想法正確呢？今天這節課我們就一起來研究“三角形的內角和”。(板書課題)

【案例2】

師：同學們，這節課應老師帶來了一些禮物送給大家，就在桌子下面的信封里！快打開看看，是什么呢？

生：哦，三角形。（有一點意外）

師：對，這些三角形可不簡單，里面藏著很多小秘密呢！這節課我們就一起來玩玩這些三角形！（板書：“玩”三角形）

師：請拿到銳角三角形的同學對我揮揮手！直角三角形在哪兒？最后請鈍角三角形的展示一下！今天這三類三角形要來“pk”一下，比比誰的角大。

師：首先，只比一個角！認為自己這類三角形一定會獲勝的，請起立！

師：（采訪1）你為什么認為獲勝？（采訪2）你為什么不站起來？

師：原來你們都想到了派最大的角來比！真聰明，其實三角形在按角分類的時候，只要看最大角就行了！

師：下面繼續來比。這次我們干脆把三個角都派出來比！現在哪一類三角形會獲勝呢？

生：鈍角三角形獲勝！

生：打成平手，因為三角形內角和是180°！

師：什么是內角？誰來指一指？請在老師送你的三角形上，也標出內角！

師：三角形三個內角的度數和，就是三角形的內角和。

【解讀與評價：兩個案例都設計了有趣的情境，旨在激發學生研究三角形的積極性，引發研究的必要。

但是實際教學中，我發現學生對案例1這樣的情境興趣不高，對案例2中的情境則比較感興趣，雖然我的這份“禮物”只是一些紙片三角形，但是學生手里握著三角形，任務變得直觀了，“內角”變成了強刺激因素。這樣的環節設計趣味濃，教學痕跡淡，而學生在不知不覺中復習了必要的舊知，并為接下來的驗證活動做好了鋪墊。】

二、經歷探究實踐，激發學生潛在能力

【案例1】

師：老師把剛才的三個三角形“請”到了你們的練習紙上，請同學們小組合作，分別量一量每個內角的度數，并求出它們的內角和，把結果填在表格中。

三角形形狀 每個內角的度數 三個內角的和

學生匯報，基本都是180°。

師：你們發現了什么？

生：通過測量我們發現每個三角形的三個內角和都是180°！

師：用度量的方法驗證會存在一點誤差，有沒有更精確的驗證辦法？請同學們先獨立想一想，再在小組內交流，然后選定一種方法進行驗證。看哪一組的驗證最科學、最有效。

組1：我們組是用折的方法來驗證的。把三個角折過來，剛好能拼成一個平角，平角是180°。

組2：我們用三個完全一樣的三角形，分別將3個角拼起來，也是平角。

師：還有別的方法嗎？

小結：看來三角形的內角和應該是——180°。

【案例2】

師：舉起你們的三角形看一看，你認為三角形內角和是多少度？

生：180°。

師：你怎么知道三角形內角和就是180°呢？你有什么方法來證明嗎？

生：同桌討論的。

師：現在，請同學們四人小組合作。

要求：開動腦筋，合理利用學具，看看哪一組方法最巧妙！

組1：我們組用量角器測量，先分別量出三個角的度數再加起來等于180°。

組2：我們組是用折的方法來驗證的。把三個角折過來，剛好能拼成一個平角，平角是180°。

組3：我們組是把同一個三角形的三個角撕下來，拼成平角，180°。

師：這一組的同學非常大膽！把三個角撕下來拼到一起，真有創新精神！

組4：我們組把三個完全相同的三角形里面的角 1、2、3，拼成平角180°。

師：你們組真能干，把學具利用得很充分！

組5：相同三角板拼成正方形（長方形），有四個直角！內角和是4×90°=360°，再分開，原來的三角形的內角和是360÷2=180°。

師：那到底是不是所有的三角形內角和都是180°呢？請看大屏幕！

師：（演示幾何畫板三角形ABC）我隨意地拉動，請拿出計算器快速計算它們的內角和！

生：都是180°！

師：所有的三角形內角和都是180°。那么其中一個角會不會是180°呢？

生：當點A離BC越來越近時，∠A越來越接近180°,而其他兩角越來越接近0°！

【解讀與評價：本課的知識點非常簡單，即“三角形內角和為180°”。但是這節課希望學生獲得的不僅僅是這一點結論，更希望學生在親自參與的實驗活動中，積累觀察和驗證的活動經驗，提升觀察能力和推理能力。兩個案例都安排了探究“三角形內角和”的環節，試圖讓學生在玩中學、學中做、做中悟。

但是在案例1的教學中，我發現學生探究的熱情不足。學生把“三角形內角和是180°”當成既定結論，基本沒有產生去驗證為什么是180°的欲望。

案例1的探究失敗，在于開放度還不夠。我怕學生探究的結果不理想，先安排了量一量驗證的環節，給出了結論，然后再讓學生想想還有沒有其他的方法，在學生看來是畫蛇添足。

因此在案例2，我只為學生準備了充分的學具，包括：尺子套裝、全等三角形若干、大三角形若干等學具，直接讓學生去嘗試驗證，學生的積極性大不一樣。

我開始認識到課堂中探究式學習的重點不僅是關注學生探究所得的結果——不在于要求全體學生得到一種或多種的方法，更重要的是要塑造和改造學生的思維方式。小學四年級的學生，驗證的方式主要是實驗幾何的方式。采用一些特例，通過各種操作來“驗證”猜想的正確性，總體而言是不完全歸納法。在這個過程中，學生學習合理利用工具，強化動手操作（拼、折、量、算）的能力，體會研究數學問題的方式方法，并在交流和討論中豐富認識和解決問題的角度、思路。

在案例2中，除了量、拼、折等常規的方法，我還增加了新思維數學教材中動態演示的方法，并在追問中滲透極限思想；根據班級學生的特點，我還引導他們通過計算來推理，發展推理能力，為今后學習證明積累經驗。】