換顆心整個世界就變了
——兼評張聰聰、陸旭芳兩位老師《負數的認識》一課

劉 松（特級教師）

按照學校校本研訓的傳統慣例（第一學期相對集中教師活動，第二學期相對集中學生活動），2016學年第一學期剛剛開學，第十二屆“文海之星”教學比武活動就轟轟烈烈地開始了。為了充分發揮學校九年一貫制辦學的優勢，加強中小學銜接及學科整合，集團師訓中心發出了“中小學老師同上一節課”的倡議，筆者甚感興趣。數學組有兩位老師不約而同地選擇了《負數的認識》一課，如此一節可謂被研究透了的課，兩位老師又會有怎樣的創新和突破呢？帶著問題和好奇心，筆者參與了兩位老師從定好選題到最終課堂展示的全過程。

張聰聰老師是一位工作還不到三年的小學老師，雖然年輕，但有著省級優秀大學生背景的她，不僅教學基本功扎實，而且教學研究也頗有套路。為了充分了解學情，抓準教學的起點。課前，她專門組織了隨機抽樣測試，測試對象為本校80名五年級學生，具體數據如下。

由前測分析情況可以發現，本校五年級的學生對于正負數的寫法，基本上已經掌握。但關于正負數是一對相反意義的量，學生的理解不深刻，在用自己的話說說什么是負數時，沒有一個學生從相反意義的角度解讀。在數軸上找數，接近三分之一的學生有困難。關于“0”的歸屬問題，更是學生的難點所在。

前測內容 前測情況分析1.請寫出三個正數和三個負數。78人正確寫出正負數，但一律寫的是正、負整數，占97.5%；1人只寫出正整數；1人寫了正整數和正小數。2.如果向東走5米記作+5，向西走10米記作（ ）。71人正確填寫出負數，占88.75%；5人未填；4人填了正數。3.請你在數直線上找 出 0.5、-1、-1 2和-3.5。65人正確在數軸上找出各數，占68.75%；25人找不出負數的位置，占32.25%。4."0"是正數還是負數？17人認為“0”既不是正數也不是負數，占21.25%；61人認為“0”是正數，占76.25%；1人認為“0”是負數；1人填寫“不知道”。5.用自己的話說說什么是負數。69人認為負數是比0小的數，占86.25%；6人認為負數是帶“-”的數；3人認為負數是小數減大數產生的；2人填“不知道”。

好教師不僅要讀懂教材，還要讀懂學生。優質教學的前提是優質的教學供給，而優質教學供給的前提則是教與學的針對性，即教學是否真正滿足了學生的需要，也就是否真正關注了學生學習中的難點、易錯點及困惑點等。試想，教師若只是照本宣科，或者僅是從自己的角度出發，講的都是學生已知的，學生真正困惑和需要幫助的卻不提及，教學何談有效，更談不上優效。從此意義上回看張老師的教學，教師在課堂上使力的方向十分明確，加之其充分關注到了學生的年齡學習特征，大量使用課件直觀演示，激活了學生豐富的生活經驗，教學效果還是不錯的。正如她在課后交流中所言，本節課選取了學生熟悉的并與生活息息相關的情境，整堂課緊緊以“-3”為抓手。在探究意義的環節，首先從四個不同情境中引出“相反意義”；接著從小試牛刀的練習中突出“相反意義”；再從追問中強化“相反意義”；最后小結提升“相反意義”。隨著教學一步步地展開，加深了學生對負數意義的理解，凸顯了負數的本質——是作為與正數相反意義的量而存在。同時，巧妙地把溫度計旋轉并抽象為數直線，更加深了學生對負數的直觀印象。在練習環節，有意增加盈虧問題，滲透了負數的計算，進一步讓學生體會到負數與生活的密切聯系。如此教學，既開放又聚攏，簡約但不簡單。不僅突出了負數的數學本質，而且尊重了學生的認知起點。所以，好的教學關鍵是要在如何教才能更有利于學生學的層面上做出有針對性的突破。

但若細細品味張老師的教學，則不乏別人（尤其是名家）的影子。對年輕教師而言，此無可非議，甚至是必需的。但從個人專業發展的長遠角度看，若能在繼承與發揚的基礎上，再有適當光大與創新，可能就更好了。在她的課后反思中，這一點她自己似乎也略有省悟。

陸旭芳老師則是一位有著多年初中教學經歷的資深教師。從課前慎思、課堂實錄及課后反思中，我們可以清晰地感覺到陸老師身上明顯的中學老師烙印——密度大、題量多、難度深等。由于長期在九年一貫制學校工作的緣故，經常聽到許多初中部老師抱怨，聽小學老師的課感覺太不過癮了，究其原因就是小學老師的課堂難度系數太低，信息量偏少。當然，這不是小學老師的錯，是學生年齡特點及接受程度使然。由于中考指揮棒及壓力的存在，初中教師當然要更多地考慮難度、密度、深度等問題，這絕不會僅僅表現在陸老師一個人身上。

筆者經常跨中小學部聽課，對此現象總結了一句口頭禪：小學老師若不聽中學老師的課，不知道自己是多膚淺；中學老師若不聽小學老師的課，不知道自己是多死板。所以極力呼吁若有可能，中小學老師要經常互相聽課，尤其小學中高段與初中部教師。事實上，張聰聰老師課中絕對值的意義、相反數的概念及負數沒有最大及最小的極限思想的滲透等，就是在聽了陸老師的試教課后，受到啟發后改變的，從而使教學在濃濃的生活氣息中，平添了些許數學的味道。當然，陸老師的教學一點也不死板，不僅密度大、題量多，甚至把中考題都搬進了小學課堂，難能可貴的是，“學為中心”的教學理念在她的課堂上也得到了較好的體現。其中，課的核心板塊——解讀負數的意義，基本上都是由學生自主完成的。筆者非常欣賞陸老師說過的三句話：既不能淺嘗輒止，也并非要冰凍三尺；既不能相對簡單，也不能過于復雜；既不能流于形式，也不能丟失本質……是面對六年級學生教學負數時應該注意的問題。從這三句話就可以看出，陸老師課前也在思考教學的針對性問題，而且思考地相對更深、更廣、更適切。

陸老師不愧為中學教師，能以相對較高的視點審視小學數學。對于負數的產生，許多小學教師的做法是，僅僅從相反意義量的角度解釋。整節課往往從相反意義量開始，又在相反意義量中結束。相反意義量當然是重要的，甚至怎么強調也不為過。但反觀數學發展的歷史，相反意義量并非說明負數產生的唯一或全部，其產生還與解方程相關。筆者最最欣賞的，是陸老師課的開始及結尾設計，以列方程解決實際問題為背景，從數系擴充的角度引入并結束，不僅使整節課首尾呼應、渾然一體，更重要的是，本節課學生收獲的不只是負數的知識，還學會了從知識發生的本源處思考問題，繼而會用發展的眼光看待數學，自然也就深刻理解了數學，順帶還學會了學習。學生以后再遇到一個新的數的概念，可能就會自我追問：為什么又要產生新的數啊？原來的數系怎么又不夠用了？新數的概念是從什么角度思考的？……試想，學生若能人人如此，教學的價值豈不最大化矣！

哲人說：樹有多高，影子就有多長。最亮眼處往往就是盲區。陸老師課的引入就是“56-58”的問題，若能在結束時從加減法封閉性的角度多提一句，在沒有引入負數的概念時，減法是不可以像加法一樣具備封閉性的，引入負數后，減法就和加法平起平坐，也具備了封閉性（任意兩個數都可以互相相減）。如此，本節課的數學味道就會更上一層，其意義可能比那幾道簡單的中考題要大得多。

在兩位老師磨課期間，筆者也隨機采訪了一些學生，發現部分聰明（或家教比較好）的小學生，甚至在一二年級，就知道3-4等于-1，但追問-1表示什么意思，卻都說不清。其實，這一點都不能怪學生。關于負數的合理性問題，甚至一些大名鼎鼎的世界級數學家一開始都是不接受的，比如帕斯卡認為從0減去4是純粹的胡說，帕斯卡的朋友阿潤德還提出一個有趣的說法，來反對負數，他說（-1）：1=1：（-1），那么較小的數與較大的數的比怎么能等于較大的數與較小的數的比呢？直到1712年，連萊布尼茲也承認這種說法合理。就在一百多年前，英國重量級的數學家——德·摩根，還說負數是荒唐的數。他特意舉了一個例子：“父親56歲，他兒子29歲，問幾年后父親的歲數是兒子的兩倍？”通過列方程解得x=-2，他認為這個結果是太荒唐了！即便如此，這一點也不影響這些大數學家在數學史上的貢獻及美譽度。其之所以不接受，是受思維定勢及局限所致。當我們把0的意義只理解為代表什么也沒有時，從0減去4當然就是純粹的胡說。筆者查閱了大量相關的教學設計與實錄，發現許多老師也這樣問學生：0代表什么也沒有，怎么可以減4呢？殊不知，如此設問，恰恰把學生帶進了迷魂陣。試想，連一些世界級大數學家都理解不了的問題，讓小學生怎么可以解釋得清楚。

隨著兩位老師不斷的試教，筆者也燃起了走上講臺的熱情，決定親自嘗試。當然，除了學習借鑒以上兩位老師及眾多老師的優秀做法以外，筆者最最關心的有一點，就是如何讓學生徹底明白負數的合理性。受自己上《分數的意義》時突破單位“1”（離散量的集合）認知的設計啟發，當問學生1加1等于幾時，學生無一例外都說是2，當然正確，且永遠正確。但當轉換思考問題的角度時，1加1還等于1，在數學上也是成立的，如何理解？當學生能想到諸如一塊橡皮泥加一塊橡皮泥、還是一塊橡皮泥等例子時，對離散的量的整體也可以看作是1的意義就不言自明了。既然如此，負數的認識為什么不可以從0切入呢？當我們不把0只看作無，而是轉換角度，0還可以代表有，而且是真實的存在時（諸如起點、分界點等），那么，負數的合理性是否就更容易理解了呢。實踐證明，如此教學，學生理解起來順暢多了。事實上，對于0的“有”的意義的理解，不僅小學生容易忽視，雖然他們經常使用尺子（各種尺子上幾乎都有0起點的標示），我們成人可能也不例外。今年暑期，筆者帶家人到法國度假，在巴黎住酒店時，期間好多次拿著房卡跑錯樓層，不僅是我們這些中國游客，甚至負責開車的意大利司機也不例外。原因就是酒店的樓層設置與國內不同，國內一般是不設0層的，而在巴黎，0層是真實的存在，這讓我們這些中國游客一開始很不適應。出于職業的習慣，筆者當時就想，如果整個歐洲的酒店樓層都是如此設置，那么學負數時，也許西方的孩子可能比中國的孩子理解起來會容易些，可他們的上述先輩們咋就那么“糊涂”呢。

貫通 0“無”和“有”的兩種意義，還有一個更大的好處，那就是對本節課難點的理解。通過大量前后測數據分析及學生訪談可知，本節課的最難理解之處就是0的歸屬問題。可能是受自然數包含0的影響，許多學生總認為0是正數，即便是有些學生知道0既不是正數，也不是負數，但當追問他們為什么（或怎么理解）時，他們卻大都說不清理由。筆者在試教時，一位學生給出了精彩的回答：在數直線上我們可以清楚地看出，有+5就會有-5、有+3就會有-3、有+1就會有-1……正數和負數總是成對出現的，而0則不然。假如有+0，在數直線上就是從0起點開始，向正方向（右）移動0個單位長，而0個單位長就等于沒有，也就是沒動，還在原地；同理，假如有-0，在數直線上就是從0起點開始，向負方向（左）移動0個單位長，而0個單位長也等于沒有，也就是沒動，也還在原地。+0、-0都還是它自己，所以，0既不是正數，也不是負數。在落實深度學習獲得廣泛共識的當下，如此教學，是否比僅僅說0就是分界點（分界線）要更進一步呢。

哲人說，作為凡人的我們，改變不了世界，但可以改變自己。只要換顆心，整個世界就變了。教學又何嘗不是如此呢？“不識廬山真面目，只緣身在此山中。”當我們能嘗試從多角度觀察、思量并能做到融會貫通時，解決問題的曙光自然就會出現了。