巧借各種經驗建構數學概念

吳林法

[摘 要]在學習概念前，學生往往結合自己的知識儲備，對相關的概念有了一定的認識和了解，并初步形成自己的觀點和看法。因此，教師應善于運用各種生活經驗和數學經驗作為產生與孕育科學概念的“生長點”開展教學，使數學概念的教學真正有效，易于學生理解和掌握。

[關鍵詞]數學概念 經驗輔助 策略方法 數學經驗 生活經驗

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）14-031

在學習數學概念的過程中，如果學生已具備學習新概念所必需的學習經驗，就容易形成對新概念的建構；反之，就不能真正理解新概念的內涵和外延，從而出現知識斷層。鑒于此，課堂教學中，教師應從學生的生活經驗、數學經驗和綜合經驗三個方面入手，探尋概念教學的有效策略。

一、善用生活經驗，厘清思路

概念教學時，教師需要關注學生已有的生活經驗，針對不同的教學內容采取不同的策略，引領學生科學建構數學概念。

1.基于已有的生活經驗——抽象和提升

很多日常的生活經驗都能為學生學習提供支撐，所以教師要善于發現并注重其對學生數學學習的價值，以生活現實為基點，一步步抽象、提升，引導學生科學建構數學概念。例如，教學“三角形的高”時，我創設“誰家房子更高”的生活情境，先讓學生觀察情境圖中小雞家的房子（形同銳角三角形）和小貓家的房子（形同直角三角形），再提問：“用數學的眼光看這個問題，你怎么看？”在問題的驅使下，學生發現了由頂點向對邊畫線段的解決策略。我引導學生比較分析：“連接頂點和對邊任意一點得到的線段與由頂點向對邊畫垂直線段，哪種方法合理，為什么？”由此抽象出三角形的高的概念，并引導學生在認識和理解概念的基礎上學習畫高，但學生在畫鈍角三角形的高時仍不免出現錯誤（如右圖）。于是，我追問：“如果把它看成是一座奇特的房子，它的房頂在哪兒，離地面有多高？”通過問題，重點引導學生在對比分析中感悟畫高需要找尋到的基本要素和滿足的條件，使學生在獲得數學經驗的同時，加深對所學概念的認識。

2.針對原型經驗缺失——尋找與鏈接

學生在學習過程中，往往一時難以找到與學習內容相關聯的生活原型經驗。這時教師就要運用一定的方法或手段幫助學生尋找數學在生活中的原型，再以有趣、生動的組織形式激活這些知識原型，為經驗向新知有效遷移做好準備，從而實現生活與數學的鏈接，使學生科學建構數學概念。例如，教學“認識公頃”時，由于生活中較少用到這一單位，所以學生很難找到與之相關聯的原型經驗。這時教師可以運用合情推理，先引導學生由一個教室約是50平方米推理得到1公頃大約是200個教室的面積總和或幾個操場的面積總和，再展示周邊面積約是1公頃的生活場所的照片，讓學生思考這些地方相當于幾個學校的大小、大約是幾公頃。

此外，學生生活經驗的缺失影響著幾何概念的建構，導致在解決實際問題時不會選擇相應的計算公式。尤其是對于求表面積的問題，單純求六個面的面積還好，如果求其中幾個面的面積，學生出現的錯誤更是五花八門了。如求游泳池粉刷的面積、抽屜木板的面積、計算通風管的面積、給階梯鋪瓷磚的面積等，這些求表面積的題目，部分學生無法將長方體和正方體的數學模型與生活實際對應起來，不知道該求幾個面的面積或求哪幾個面的面積。例如，教師可讓每個學生準備一個火柴盒，內盒可以看作是一個游泳池、抽屜等沒有蓋的五個面的長方體，外殼可以看作通風管等只有四個面的長方體，整個火柴盒就是一個完整的長方體。有了這樣的一個數學模型，學生在了解所求物體的實際應用特征后，再拿出來看看，就能正確計算出面積了。

3.針對日常概念的干擾——區別與溝通

概念可分為數學概念和與之相對應的日常概念，兩者往往是有所區別的，甚至有時日常概念與數學概念完全相悖，嚴重干擾數學概念的建構。因此，教師在教學中要注意對日常概念和數學概念兩者之間進行區別與溝通，努力消除日常概念的不良影響，幫助學生建構正確的數學概念。例如，教學“角”的概念時，教師事先給學生提供典型材料（如五角星、三角尺、小鬧鐘等），問：“誰能在它們身上找到數學王國里的‘角？”通過問題引導學生仔細觀察，積累感性經驗。接著，通過課件隱去與角無關的元素，僅僅呈現角的幾何模型，并指出這些圖形都是數學上所說的角。然后讓學生在視覺上與生活經驗信息庫里的角進行區別，并引導學生觀察這些角的相同之處（都有一個頂點、兩條邊），從而抽象出角的本質屬性。最后讓學生找找生活中還有哪些物體的身上有這個新朋友的影子，促使學生主動與原認知進行溝通。

二、 智用數學經驗，指引沉淀

在課堂教學中，教師要基于學生已有的數學經驗選擇相應的教學策略，使學生在教師的指引下真正理解所學概念的內涵。

1.面對學生隱性的數學經驗——類比與打通

學生在學習一個新概念時，有時很難從自己的大腦信息庫中提取出與之相關聯的數學經驗和新知進行對接。這就需要教師激活學生內隱的數學經驗，通過運用類比的方法拓展學生的思路，引導學生從直觀的顯性經驗中提煉出抽象的數學概念，感悟概念的本質。例如，教學“假分數”時，教師設計“分餅”的操作活動（如下圖），讓學生用除法算式表示分餅的過程，并用分數表示分餅的結果。然后教師引導學生進一步觀察算式，這里，教師通過“分餅”的操作活動，引導學生經歷了假分數產生的過程，將學生隱性的數學經驗激活并轉化為顯性經驗，再通過類比的方法拓展學生的思路，使學生領悟假分數就是分數單位不斷累加的結果。

2.面對學生片面的數學經驗——暴露與辨析

學生受思維水平的影響和限制，在分析問題時容易以偏概全，導致對概念的構建只停留在表面。這就要求教師必須采取有效的策略，引領學生從片面走向全面、從表面走向本質。例如，“分數初步認識”的教學，教過低年級的教師都有這樣的感受：只要讓學生分東西，他們馬上想到的是等分，在他們的內心分一分就是等分。也就是說，學生對“分”的活動經驗是片面的，嚴重影響了分數概念的建構。對此，教師可于課始創設“我當服務員給小伙伴分餐”的生活情境，揭示分東西時有等分和不等分兩種情形，并強調這節課是進一步研究有關等分的問題。這樣教學，既使學生從整體上建構數學知識，又為后面通過等分認識分數打好基礎。

3.針對學生缺失的數學經驗——補充與激活

教學中為幫助學生順利建構新概念，教師有必要主動對學生學習新概念所應具備的數學經驗進行查漏補缺，使學生科學建構數學概念。例如，“體積”概念的構建必須基于“空間”和“占空間的大小”的概念認識之上，而學生對這兩個概念的數學經驗是缺失的，所以有教師在教學時特意創設“往放有石子的玻璃瓶內倒水”的情境和進行“把裝有獼猴桃和小番茄的玻璃杯倒滿水”的實驗，使學生在問題情境和實驗中認識了什么是“空間”及“占空間的大小”。這樣教學，不僅補充和激活了學生學習新概念時所必需的相應的數學經驗，為新概念的順利建構巧設伏筆，而且有效修復概念教學的斷層。

三、活用綜合經驗，整體提升

在學生建構某一新概念后，教師都會安排學生做一些針對性的鞏固練習，以使學生在練習中得到鞏固和提高。但僅限于此仍是不夠的，教師還要從同一學科整體、不同學科綜合的角度出發進行整體謀劃，讓學生深刻理解概念的內涵和外延，提高問題解決的能力。

1.延伸間接經驗——溫故與知新

小學數學學習內容劃分為“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四大領域，各領域中又劃分出不同的知識板塊，每個板塊涉及不同的知識點，這些知識與知識之間不是孤立存在的，而是有著千絲萬縷的聯系。教學中，教師要靈活運用變式，喚起學生不同領域、不同板塊、不同知識點的相關經驗，通過溝通彼此間的聯系，實現對已學概念的鞏固和提升。例如，以延伸圖形運動與變換的學習經驗為例，教師在教學中可以從動態的角度，運用對稱、旋轉運動變換引導學生進一步認識圖形和圖形的特征，如“圓柱是長方形以長或寬為軸旋轉而成的”“圓是軸對稱圖形”等，促使學生進一步感悟圓柱體、軸對稱圖形等概念的本質特征；在“圖形的測量”教學中，可以運用平移、旋轉變換，引導學生進一步深化周長、面積等概念本質的認識，提高靈活解決一些較復雜的周長、面積計算問題的能力；在“圖形與位置”教學中，可將圖形置于直角坐標系中，引導學生研究變換前后圖形的位置關系，回顧數對的概念，進一步感受數對的變化特點，加深對數對概念外延的理解。

2.豐富直接經驗——拓展與應用

“綜合與實踐”為學生走出課堂，親身經歷學、做數學和理解數學提供了契機。教師可以結合綜合實踐活動，合理重組教材內容，由課內拓展到課外，使學生在問題解決的過程中豐富直接經驗，鞏固對新舊概念的認識，提高解決問題的能力。例如，在教學“較大計數單位萬的認識”時，課尾，教師設計了不同數學實踐活動供學生自主選擇，如“估計學校圖書館的藏書量”“估計體育館中座位的數量”等。這樣教學，使學生在任務驅動下經歷問題解決的過程，既豐富了直接經驗，又鞏固、加深了對“萬”這一計數單位的認識。再如，在教學“公頃”后，教師可先組織學生參觀果蔬實踐基地，讓學生沿著大約1公頃面積的土地四周走一圈，獲取公頃面積大小的直接經驗，再組織學生對果農、菜農進行訪問與交流，了解100平方米面積的作物產量和產值，估計1公頃的產量與產值。通過這樣的活動，使學生進一步感悟數學來源于生活、服務于生活。

總之，有效教學是每一位教師的追求，我們應不懈地努力探索著。今天，我們借助各種經驗這一新的視角探索概念教學，邁出了最艱難的第一步，而這僅僅只是開始，今后還有更多更多的問題亟待我們深思和解決。讓我們一起繼續行走在探索的道路上，使數學概念教學真正有效、高效，讓學生得到不同的發展。

（責編 藍 天）