導數在中學數學的應用

陳芙蓉

摘 要：本文通過具體實例闡述了利用導數判斷函數的單調性、證明不等式、求函數的極值與最值、求函數的解析式、進行數列求和、求參數的取值范圍及解決一些應用問題，目的是使學生更好的理解導數在中學數學的應用，以便學生解決一些實際問題。

關鍵詞：導數；函數；應用

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）08-014-01

微積分是數學的重要分支，導數與微分是微積分的一個重要組成部分。一方面，不但數學的許多分支以及物理、化學、計算機、機械、建筑等領域將微積分視為基本數學工具。另一方面，微積分所反映的數學思想也是日常生活與工作中認識問題、研究問題所難以或缺的。同時，導數的應用這部分知識也正在作為高考的一個熱點越來越多的出現在高考試卷中，為了使那些參加高考的考生在遇到這類題目時不再感到束手無策，通過歸納、總結得出導數在中學數學中主要有以下幾點應用：

一、利用導數判斷函數的單調性

函數的單調性是函數的一個非常重要的性質，在中學數學學習過程中，我們經常遇到一些高次函數的單調性問題，當我們用常規思路去解時，發現步驟非常繁瑣，若利用導數，則發現解法十分簡捷。

例1設 ，求函數 的單調區間、

分析：本題著重考查函數的單調性，運用導數研究函數的基本性質，同時考查學生的運算能力和邏輯思維能力。為了加強對學生能力的考查，本題給出的函數 中不僅設置了參變量a，而且還增加了復合函數 的導數的運算問題.解決本題首先是正確求出導數 ，然后解關于 的不等式 或 ，解不等式時，又要對a實施分類討論，最后求出x的取值范圍。

二、利用導數證明不等式

不等式的證明是數學學科經常遇到的問題，中學已學過一些簡單不等式的證法，但有些問題也很難下手，而導數的應用又為我們證明不等式開辟了一條新的途徑.主要有以下幾種求導方法。

例1證明Jordan不等式：若 ，則

證明：令 ，則

利用 知 ，由此得 ，因此 在 內是減函數.又因為 在 處連續，故可得： 即 ，當 時，上式顯然成立，因此當 時，恒有

“學以致用”這是數學教育改革所關注的熱點，而函數與最值問題的應用是高考命題人員關注的焦點.對這類問題有些運用舊知識可以解決，但也有一些題目要利用求導的方法才能徹底求解。高中數學新教材中增加的導數初步知識，為高中數學注入了新的活力，有利于溝通初高等數學的聯系，因此導數的應用將成為新教材高考試題的熱點，所以在教學中，穿插與滲透導數的應用，培養學生應用導數的意識和能力應引起人們的高度重視，特別是復習以函數為背景或解決與函數有關的方程，不等式及應用問題時，滲透導數的應用，拓寬解題思路，在應用中增強學生用數學的意識，開拓思維，培養創新精神。

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